初中数学湘教版七年级下册第3章 因式分解综合与测试教学设计及反思

因式分解

一、因式分解的概念

例1 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为(　　)

A.a(x+y)=ax+ay        B.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)       D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）

分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.

解：选C.

二、因式分解的方法

例2 因式分解：2(a-3)2-a+3=                 .

分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.

解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).

注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.

例3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).

分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.

解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=

 (5m+3n)2.

注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.

例4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).

分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.

解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).

三、因式分解相关的计算

例5 已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.

分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.

解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2= 4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=

4a4-8a2b2+4b4.

例6 计算.

分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.

解：==.

四、因式分解相关的说明 

例7 已知a2+b2=1，x2+y2=1.

试说明： (ax+by)2+(bx-ay)2=1.

分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边因式分解.

 (ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2

=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).

因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.

注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.

五、因式分解的实际应用

例8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88 cm，它们的面积相差836 cm2，求这两个正方形的边长.

分析：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，则根据它们的周长相差88 cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836 cm2，所以x2-y2=836，根据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形，求解.

解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，根据题意得

方程组等价于

将③代入④，得x+y=38⑤.

③和⑤组成方程组得

解得x=30，y=8.

所以大正方形的边长是30 cm，小正方形的边长是8 cm.

误区点拨

误区一因式对分解的概念理解不透彻

例1 下列从左到右的变形是分解因式的是(    )

A.            B.

C.   D.=

错解：选B、C、D.

错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.

正解：选A.

误区二 多项式分解不彻底

例2 因式分解a4-2a2+1.

错解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.

错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2 (a-1)2.

正解 ：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.

误区三 利用公式出现偏差

例3 因式分解 (x+y)2-4xy.

错解 ：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).

错因分析： 4xy不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.

正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.

误区四 提公因式漏项

例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.

错解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).

错因分析：最后一项提取公因式3abc后，还剩余1单独成一项.

正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).

教学反思：