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中考二轮专题2.1 一次方程(组)课件PPT
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这是一份中考二轮专题2.1 一次方程(组)课件PPT，共30页。
2.1 一次方程(组)
命题者说涉及本节的安徽中考考点有:(1)等式的基本性质;(2)方程及方程的解的概念;(3)一元一次方程的概念及解法;(4)二元一次方程组的概念及解法(代入消元法、加减消元法);(5)列一次方程(组)解决实际问题.本节考点的考查会以选择题、填空题和解答题等多种形式出现,一次方程(组)的解法和列一次方程(组)解决实际问题多以解答题为主,难度中等,值得关注的是:近几年一次方程(组)的实际应用常取材于古典数学名著,借此渗透中华传统数学文化.
命题点1根据相等关系列出方程组(常考)1.(2018·安徽第6题)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则( B )A.b=(1+22.1%×2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)×2aD.b=22.1%×2a【解析】由题意得2017年有效发明专利为(1+22.1%)a万件,2018年有效发明专利为(1+22.1%)(1+22.1%)a万件,即b=(1+22.1%)2a.
命题点2一次方程(组)的实际运用(常考)2.(2019·安徽第17题)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还需联合工作多少天?
解:设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进y米,
所以(146-26)÷(7+5)=10(天).答:甲、乙两个工程队还需联合工作10天.
3.(2017·安徽第16题)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?译文:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题.解:设共有x人,可列方程为8x-3=7x+4,解得x=7,∴8x-3=53.答:共有7人,这个物品的价格是53元.
考点1方程的有关概念(8年1考)1.等式及其性质(1)等式的概念:用“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.(2)等式的性质:①等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c= b±c ; ②等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc, (c≠0); ③等式的对称性:如果a=b,那么 b=a ; ④等式的传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c .
2.方程含有未知数的等式叫做方程.3.方程的解使方程左右两边相等的 未知数的值 叫做方程的解;一元方程的解,也可叫做方程的根.
【解析】A项,两边加不同的数,等式不成立;B项,两边都乘以c,等式成立;C项,当c=0时,两边都除以c无意义,等式不成立;D项,两边乘以不同的数,等式不成立.【答案】 B
提分训练1.下面四个等式的变形中正确的是( A )A.由4x+8=0得x+2=0B.由x+7=5-3x得4x=2
D.由-4(x-1)=-2得4x=-6
考点2一元一次方程及解法(8年2考)1.一元一次方程只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.2.解一元一次方程的一般步骤①去分母;②去括号;③ 移项 ;④ 合并同类项 ;⑤系数化为1.
解一元一次方程的五个步骤的注意事项:(1)去分母后不要忘记将分子用括号括起来,尤其是当括号前的系数为负数时;(2)去括号时不要忘记括号前的系数要乘括号里的每一项,去括号后要特别注意各项是否要变号;(3)移项要变号;(4)合并同类项时注意不能漏项;(5)对于ax=b(a≠0),将未知数的系数化为1时,
解:方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=1, ①去括号,得3x-2x-2=1, ②合并同类项,得x-2=1, ③解得x=3, ④∴原方程的解为x=3. ⑤(1)上述解答过程中的错误步骤有 (填序号); (2)请写出正确的解答过程.【解析】(1)第①步在去分母时,两边同乘以6,但是方程右边没有乘,第②步在去括号时没有注意到符号的变化,所以出现错误;(2)注重改正错误,按以上步骤进行即可.
【答案】(1)①②.(2)方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=6,去括号,得3x-2x+2=6,合并同类项,得x+2=6,解得x=4.
【答案】 (1)去分母,得6x+2(1-x)=x+2-6,去括号,得6x+2-2x=x+2-6,移项,得6x-2x-x=2-6-2,合并同类项,得3x=-6,系数化为1,得x=-2.(2)把x=2代入代数式5(x-1)-2(x-2)-4,得原式=5-4=1,即y=1,
考点3二元一次方程组及其解法(8年2考)1.概念含有两个未知数,并且所有含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程.由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组就叫做二元一次方程组.2.解法解二元一次方程组的基本思想是“消元”,也就是要消去其中一个未知数,把解二元一次方程组转化成 解一元一次方程 . (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它代入另一个方程,进行求解.(2)加减消元法:当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别 相加或相减 ,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.
解二元一次方程组的实质是一个转化的过程,就是通过“消元”,把二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
求解方程组的特殊解法——整体消元法与换元法提分训练
考点4一次方程(组)的应用(8年3考)1.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审:分析题意,找出题中的各个数量之间的关系及其等量关系式;(2)设:选择一个适当的未知数用字母表示(例如x);(3)列:根据相等关系列出方程;(4)解:解方程,求出未知数的值;(5)验:检验求得的值是否正确和符合实际情形,并答题.2.常见的等量关系(1)路程=速度× 时间 ; (2)工程量=工作效率× 工作时间 ; (3)利息=本金× 利率 × 时间 , 本息和=本金+ 利息 ; (4)两位数=10×十位数字+ 个位数字 .
在分析应用题中的数量关系时,常用列表、画图等方法来分析,使题目中的数量关系变得直观明显,从而容易找到它们之间的等量关系.
典例4 (2019·湖北黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?【解析】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人走x步,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,列方程求解即可;(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,及追及问题可列方程求解.
【答案】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人走x步,由题意得x∶600=100∶60,∴x=1000,∴1000-600-100=300.答:当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步.(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,由题意得y=200+ ,∴y=500.答:走路快的人走500步才能追上走路慢的人.
提分训练5.(2019·山东淄博)“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价-成本).其中每件产品的成本和售价信息如下表:
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?
【答案】设A,B两种产品的销售件数分别为x件、y件,
答:A,B两种产品的销售件数分别为160件、180件.
数学文化安徽中考自2017年开始,每年都有数学文化方面的问题考查,这也是以后中考命题的趋势之一.数学文化的问题,涉及面很广,代数、几何均有涉及.解决这类题的策略是注意审题,绝大部分已经将文言文作了翻译,极少数只有文言文,转化成现代文即可;或者考查古代物品中蕴含的数学知识,读懂题意即可解答.一 《九章算术》1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中方程式是重要的数学成就.书中有一个方程问题:今有醇酒一斗,直钱五十;行酒一斗,直钱一十,今将钱四十得酒二斗,问醇、行酒各得几何?意思是:今有美酒一斗的价格是50钱,普通酒一斗的价格是10钱,现在买两种酒2斗共付40钱,问买美酒、普通酒各多少斗?
解:设买美酒x斗,普通酒y斗,
答:买美酒0.5斗,普通酒1.5斗.
二 《孙子算经》2.(2018·安徽第16题)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何?大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少户人家?请解答上述问题.
解:设城中有x户人家,根据题意得解得x=75.答:城中有75户人家.
三 《算法统宗》3.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.(1)求该店有客房多少间?房客多少人?(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?请写出你作出这种决策的理由.
2.1 一次方程(组)
命题者说涉及本节的安徽中考考点有:(1)等式的基本性质;(2)方程及方程的解的概念;(3)一元一次方程的概念及解法;(4)二元一次方程组的概念及解法(代入消元法、加减消元法);(5)列一次方程(组)解决实际问题.本节考点的考查会以选择题、填空题和解答题等多种形式出现,一次方程(组)的解法和列一次方程(组)解决实际问题多以解答题为主,难度中等,值得关注的是:近几年一次方程(组)的实际应用常取材于古典数学名著,借此渗透中华传统数学文化.
命题点1根据相等关系列出方程组(常考)1.(2018·安徽第6题)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则( B )A.b=(1+22.1%×2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)×2aD.b=22.1%×2a【解析】由题意得2017年有效发明专利为(1+22.1%)a万件,2018年有效发明专利为(1+22.1%)(1+22.1%)a万件,即b=(1+22.1%)2a.
命题点2一次方程(组)的实际运用(常考)2.(2019·安徽第17题)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还需联合工作多少天?
解:设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进y米,
所以(146-26)÷(7+5)=10(天).答:甲、乙两个工程队还需联合工作10天.
3.(2017·安徽第16题)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?译文:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题.解:设共有x人,可列方程为8x-3=7x+4,解得x=7,∴8x-3=53.答:共有7人,这个物品的价格是53元.
考点1方程的有关概念(8年1考)1.等式及其性质(1)等式的概念:用“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.(2)等式的性质:①等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c= b±c ; ②等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc, (c≠0); ③等式的对称性:如果a=b,那么 b=a ; ④等式的传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c .
2.方程含有未知数的等式叫做方程.3.方程的解使方程左右两边相等的 未知数的值 叫做方程的解;一元方程的解,也可叫做方程的根.
【解析】A项,两边加不同的数,等式不成立;B项,两边都乘以c,等式成立;C项,当c=0时,两边都除以c无意义,等式不成立;D项,两边乘以不同的数,等式不成立.【答案】 B
提分训练1.下面四个等式的变形中正确的是( A )A.由4x+8=0得x+2=0B.由x+7=5-3x得4x=2
D.由-4(x-1)=-2得4x=-6
考点2一元一次方程及解法(8年2考)1.一元一次方程只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.2.解一元一次方程的一般步骤①去分母;②去括号;③ 移项 ;④ 合并同类项 ;⑤系数化为1.
解一元一次方程的五个步骤的注意事项:(1)去分母后不要忘记将分子用括号括起来,尤其是当括号前的系数为负数时;(2)去括号时不要忘记括号前的系数要乘括号里的每一项,去括号后要特别注意各项是否要变号;(3)移项要变号;(4)合并同类项时注意不能漏项;(5)对于ax=b(a≠0),将未知数的系数化为1时,
解:方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=1, ①去括号,得3x-2x-2=1, ②合并同类项,得x-2=1, ③解得x=3, ④∴原方程的解为x=3. ⑤(1)上述解答过程中的错误步骤有 (填序号); (2)请写出正确的解答过程.【解析】(1)第①步在去分母时,两边同乘以6,但是方程右边没有乘,第②步在去括号时没有注意到符号的变化,所以出现错误;(2)注重改正错误,按以上步骤进行即可.
【答案】(1)①②.(2)方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=6,去括号,得3x-2x+2=6,合并同类项,得x+2=6,解得x=4.
【答案】 (1)去分母,得6x+2(1-x)=x+2-6,去括号,得6x+2-2x=x+2-6,移项,得6x-2x-x=2-6-2,合并同类项,得3x=-6,系数化为1,得x=-2.(2)把x=2代入代数式5(x-1)-2(x-2)-4,得原式=5-4=1,即y=1,
考点3二元一次方程组及其解法(8年2考)1.概念含有两个未知数,并且所有含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程.由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组就叫做二元一次方程组.2.解法解二元一次方程组的基本思想是“消元”,也就是要消去其中一个未知数,把解二元一次方程组转化成 解一元一次方程 . (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它代入另一个方程,进行求解.(2)加减消元法:当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别 相加或相减 ,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.
解二元一次方程组的实质是一个转化的过程,就是通过“消元”,把二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
求解方程组的特殊解法——整体消元法与换元法提分训练
考点4一次方程(组)的应用(8年3考)1.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审:分析题意,找出题中的各个数量之间的关系及其等量关系式;(2)设:选择一个适当的未知数用字母表示(例如x);(3)列:根据相等关系列出方程;(4)解:解方程,求出未知数的值;(5)验:检验求得的值是否正确和符合实际情形,并答题.2.常见的等量关系(1)路程=速度× 时间 ; (2)工程量=工作效率× 工作时间 ; (3)利息=本金× 利率 × 时间 , 本息和=本金+ 利息 ; (4)两位数=10×十位数字+ 个位数字 .
在分析应用题中的数量关系时,常用列表、画图等方法来分析,使题目中的数量关系变得直观明显,从而容易找到它们之间的等量关系.
典例4 (2019·湖北黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?【解析】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人走x步,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,列方程求解即可;(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,及追及问题可列方程求解.
【答案】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人走x步,由题意得x∶600=100∶60,∴x=1000,∴1000-600-100=300.答:当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步.(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,由题意得y=200+ ,∴y=500.答:走路快的人走500步才能追上走路慢的人.
提分训练5.(2019·山东淄博)“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价-成本).其中每件产品的成本和售价信息如下表:
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?
【答案】设A,B两种产品的销售件数分别为x件、y件,
答:A,B两种产品的销售件数分别为160件、180件.
数学文化安徽中考自2017年开始,每年都有数学文化方面的问题考查,这也是以后中考命题的趋势之一.数学文化的问题,涉及面很广,代数、几何均有涉及.解决这类题的策略是注意审题,绝大部分已经将文言文作了翻译,极少数只有文言文,转化成现代文即可;或者考查古代物品中蕴含的数学知识,读懂题意即可解答.一 《九章算术》1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中方程式是重要的数学成就.书中有一个方程问题:今有醇酒一斗,直钱五十;行酒一斗,直钱一十,今将钱四十得酒二斗,问醇、行酒各得几何?意思是:今有美酒一斗的价格是50钱,普通酒一斗的价格是10钱,现在买两种酒2斗共付40钱,问买美酒、普通酒各多少斗?
解:设买美酒x斗,普通酒y斗,
答:买美酒0.5斗,普通酒1.5斗.
二 《孙子算经》2.(2018·安徽第16题)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何?大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少户人家?请解答上述问题.
解:设城中有x户人家,根据题意得解得x=75.答:城中有75户人家.
三 《算法统宗》3.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.(1)求该店有客房多少间?房客多少人?(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?请写出你作出这种决策的理由.
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