人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题02 数列求和

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专题02 数列求和

知识点1：倒序相加法
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（       ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
2．（2022·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（       ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】
令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
3．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（       ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得   ①，   ②，两式相加化简即得解.
【详解】
令   ①
则   ②
①+②可得：，
，..
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（       ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.
【详解】
∵，
∴．
又∵，
∴．
令，
则，
两式相加得，∴．
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】
【分析】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
知识点2：错位相减法
6．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式，列出方程，即可求出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）可知，根据错位相减法，即可求出数列的前项和．
(1)
解：设数列的首项为，公差为，
所以，解得，，
故的通项公式为．
(2)
解：因为，
所以，             ①
，       ②
由①－②，得
，
故数列的前项和.
7．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）在数列中，，．
(1)设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的定义求解；
（2）利用错位相减法求解.
(1)
解：因为，，
所以．
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以，
故．
(2)
，①
由①，得，②
①－②得，
，
所以．
8．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，的前n项和为，且，（）．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由，，成等比数列求出，即得解；
（2）求出再对分两种情况讨论，利用错位相减法求解.
(1)
解：因为，，
由题意得，解得．
所以，即.
(2)
解：因为①；所以②；
由①一②可得
所以．
因为所以，
所以{bn}是第二项开始的等比数列，
则通项公式为
由（1）知
当时，；
当时，
③
，④
③-④得，
∴适合.
所以
9．（2022·新疆·二模（理））已知各项均为正数的数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由得到是等比数列，再按照等比数列的通项公式求解即可；
（2）先由，，成等差数列求出，再按照错位相减法求和即可.
(1)
由，得，∵，∴
所以，又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
(2)
由成等差数列可知，，
所以．
所以，①
，②
由①-②，得，
，
故.
10．（2022·重庆·高二期末）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由错位相减法求得和，再由的单调性可证得不等式成立．
(1)
由得
   又，
数列是以为首项，以为公比的等比数列.
(2)
由（1）的结论有   
            ①
   ②
①②得：


又为递增数列，
.
知识点3：裂项相消法
11．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)当时;当 时,;
【解析】
【分析】
（1）利用时，，结合可得，由此求得，进而求得数列的通项公式；
（2）求出 时的结果，当 时，利用裂项相消法求得结果，即得答案.
(1)
由题意正项数列的前项和为，
当时， ，
故，所以 ，
即，所以 是以为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，
所以 ，
即，
但 不适合上式，故；
(2)
当 时，；
当 时，

.
12．（2022·安徽安庆·二模（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据关系，并结合累乘法求解即可得答案；
（2）由题知，，再根据裂项求和法求解即可得答案.
(1)
解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)
解：结合（1）得
，
所以
.
13．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列的前n项和为，，.
(1)求的值及的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，得到，求得；当时，，两式相减得到整理得，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由，化简得到，结合裂项求和，即可求解.
(1)
解：当时，，所以，解得，
当时，，
因为，两式相减得，
整理得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
(2)
解：由，可得，
所以，
所以.
14．（2022·江苏江苏·二模）已知数列的前项和为，.
(1)从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；
①数列是等差数列；
②数列是等比数列；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)选①证明见解析，；选②证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）选数列是等差数列：由题知，进而，即数列是等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；选数列是等比数列，结合得，即是等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可；
（2）由（1）得，再结合裂项求和法求解即可.
(1)
解：若选数列是等差数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
且，
是首项为，公差为1的等差数列.

若选数列是等比数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
∴，整理得
∵，
是等比数列且首项为公比为.
，
∴
(2)
解：∵，，
∴，


15．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)证明见解析；；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用可得到递推关系式，从而得到，结合可证得数列是等比数列，由等比数列通项公式求得后，即可整理得到；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，由可得结论.
(1)
，，，
整理可得：，，
又当时，，解得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为；
(2)
由（1）得：，
，
，，
即.
知识点4：分组（并项）求和法
16．（2022·河南·三模（文））已知数列满足：，.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用作差求得：，进而求得的通项公式；
（2）首先求出，再采用分组求和即可求出答案.
(1)
当时，，故；
当时，


两式相减得：，故
综上：当时，.
(2)
由（1）知
所以
.
17．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）已知正数数列满足，且
(1)求证：当时，总有，并求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足，求{}的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系证得结论成立，进而求得数列{}的通项公式.
（2）利用分组求和法来求得.
(1)
依题意正数数列满足，且，
当时，，
当时，，
两式相除得.
所以数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，
即，
所以.
(2)
由（1）得，
所以，
所以

.
18．（2022·广西·高二期末（文））已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出
(1)
因为数列满足，
所以数列是以2为公差的等差数列，
因为，所以，得，
所以
(2)
由（1）可得，
所以




19．（2022·广东·高二阶段练习）已知数列，，，且对任意，都有，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项的和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，得到，再利用等差数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再分n为偶数和奇数，利用分组求和法求解.
(1)
解：∵，
∴，
∴数列为等差数列，
设公差为d，则，
又，
∴．
(2)
∵，
由（1）知，
∴当n为偶数时，，
，
；
当n为奇数时，，
，
，
；
∴．
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2n项的和
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用累乘法求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求得.
(1)
∵，，，∴，
∴，
∴，，，…，，
将上述式子左右分别相乘得，
∴．
∵满足上式，
∴．
(2)
∵，令，，
的前项和为，的前项和为，
∴，
，
∴．
21．（2022·江苏·南京市第五高级中学高二阶段练习）设数列的前项和为，已知，，.
(1)求数列通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用当时，将题设条件转化为的递推关系，进而求出（2）可以看作是一个等差数列与一个等比数列相应项的和构成的数列，故用分组求和法求和.
(1)
解: (1)由,得①;
又当时,②,
由①②解得,
当时,有,
所以
即 ()
又
所以数列是以为首项, 为公比的等比数列,
所以.
(2)
(2) 令, 则,
所以的前项和为,
即


知识点5：其它求和法
22．（2022·北京顺义·高三期末）数列：满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证:的充分必要条件是；
(3)若，求的所有可能取值之和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值.
（2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可.
（3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和.
(1)
由题设，，又，
所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，；
综上，.
(2)
证明充分性：当时，可得；
证明必要性：当时，用反证法，
假设，则矛盾.
从而；
所以的充分必要条件是，得证.
(3)
当时，由（2）知：，反之亦然.
当时，有中不同取值方式，
其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种，
因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次，
从而所有指数和之和为 .
【点睛】
关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
【答案】(1)an=2n
(2)480
【解析】
【分析】
小问1：设{an}的公比为，依题意列方程求解，即可得通项公式；
小问2：由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m