人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题04 数列压轴题常见模型与归纳

专题04 数列压轴题常见模型与归纳

知识点一：数列中的规律问题

1．（2021·江西省信丰中学高二开学考试（理））如图，一个质点从原点出发，在与y轴.x轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，1）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是（       ）

A．（13，44） B．（14，44）

C．（44，13） D．（44，14）

2．（2022·全国·高二课时练习）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（       ）

A．33 B．64 C．65 D．127

3．（2022·上海市松江二中高三开学考试）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点､，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：①存在正整数的面积为2022；②对于任意正整数为锐角三角形.则（       ）

A．①错误，②错误 B．①正确，②错误

C．①错误，②正确 D．①正确，②正确

4．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为（       ）

A． B． C． D．

5．（2021·安徽宿州·高二期中（文））分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（       ）

A．89个 B．55个 C．34个 D．144个

6．（2021·云南保山·高二期末（理））在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为“整点”，现部分整点按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第666个整点是（       ）

A． B． C． D．

知识点二：周期问题

7．（2021·全国·高二单元测试）若存在正整数T，对于任意正整数n都有成立，则称数列为周期数列，周期为T，已知数列满足：，，关于下列命题：

①当时，；

②若，则数列是周期为3的数列；

③若，则m可以取3个不同的值；

④且，使得数列的周期为6；

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（2020·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知奇函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则的值为 （　　）

A．0 B．1 C．－1 D．2

9．（2020·广东佛山·高三阶段练习）在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，若，，，，当数列除去前三项之外的周期为3时，则数列的前2020项的和为（       ）

A．673 B．678 C．1350 D．1351

10．（2020·全国·高三专题练习）设无穷数列满足，，，若为周期数列，则pq的值为（       ）

A． B．1 C．2 D．4

11．（2020·浙江·浙鳌高级中学高三阶段练习）已知，是正实数，数列，，，，若这个数列是周期数列，则，必须满足条件（       ）

A． B． C． D．

知识点三：最值问题

12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（　　）

A．1010 B．1011 C．2021 D．2022

13．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，则当取得最大值时的值为（       ）

A．2020 B．2024 C．2022 D．2023

14．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）设等比数列{}的公比为q，其前n项和为，前 n项积为，并满足条件，，下列结论不正确的是（       ）

A． B．

C．是数列{}中的最大值 D．数列{}无最小值

15．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（文））已知正项等比数列满足，若数列中存在两项，的等比中项为，则的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．

16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在数列中，，其前项和满足，若对任意总有恒成立，则实数的最小值为（       ）

A． B． C． D．

17．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知数列满足，，则使得成立的的最小值为（       ）

A．10 B．11 C．12 D．13

知识点四：单调性

18．（2021·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）已知数列满足 且数列是单调递增数列，则的取值范围是_________.

19．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.

20．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：

①数列是递减数列；

②数列是递减数列；

③数列的最大项是；

④数列的最小的正数是．

其中正确的序号是__．

21．（2020·全国·高二课时练习）等差数列的前项和为，已知，，则当________时，最大.

22．（2020·全国·高三阶段练习（理））设等差数列的公差为前项和为，且，则的最大值为___________.

23．（2020·浙江·苍南县树人中学高一期中）等差数列满足：，则其公差的取值范围为______.

知识点五：恒成立问题

24．（2022·山西晋中·一模（文））已知数列满足，，数列的通项公式为，记数列的前n项和为，若存在正数k，使对一切恒成立，则k的取值范围为________．

25．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是________.

26．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则___________.

27．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______

28.（2021·全国·高二单元测试）已知数列{an}的通项公式为an＝·3n－1，n∈N*，[an]表示不超过an的最大整数(如[1.2]＝1).记bn＝[an]，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式λan＋1>Tn＋5n－对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________.

29．（2022·河北·模拟预测）已知等比数列满足，记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为___________.

知识点六：能成立问题

30．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知数列{}中，，，若对于任意的t∈[1，4]，存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.

31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为__．

32．（2021·广东·佛山一中高三阶段练习）已知数列{an}的前n项和，设数列{cn}满足:(为非零常数，)，存在整数，使得对任意，都有，则________.

33．（2022·吉林白山·高二期末）已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为__________.

34．（2022·全国·高三专题练习）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为______．

35．（2020·江西·高二阶段练习（理））已知首项为1的数列各项均为正数，且对任意正整数恒成立，若满足不等式的正整数有且只有两个，则实数的取值范围为___________.

36．（2021·全国·高三专题练习）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是______

37．（2021·河南·南阳中学高二阶段练习）设数列的前项和为，且.若存在正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是______.

知识点七：插项问题

38．（2022·上海市控江中学高一期末）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，，，，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式______.

39．（2021·全国·高二课时练习）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；……；第n次“扩展”，得到数列1，，，…，，4，并记，其中，．则数列的通项公式______．

40．（2021·云南·富宁县第一中学高二阶段练习（理））已知数列的前项和为，且对于任意，总有.若在与之间插入个数，使个数组成等差数列，则当公差满足时的值为_______________.

41．（2022·全国·高三专题练习）已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.

42．（2020·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））已知变量x、y满足约束条件，在实数x、y中插入7个实数，使这9个数构成等差数列的前9项，则、，则数列的前13项和的最大值为______.

43．（2021·江西·余干县第三中学高一阶段练习）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令，则数列的通项公式为______.

一、单选题

1．（2022·上海民办南模中学高二开学考试）设数列前n项和为，已知，，则（       ）

A．410 B．408 C． D．

2．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（　　）

A．1010 B．1011 C．2021 D．2022

3．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）三人玩报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2022个数字为（       ）

A．5982 B．5981 C．5980 D．以上都不对

4．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）已知数列满足，，则下列结论错误的是（       ）

A．是单调递增数列

B．存在，使得

C．

D．

5．（2022·重庆九龙坡·高二期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲. 1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高二单元测试）数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

7．（2022·重庆八中高二阶段练习）对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（       ）

A．101 B．99 C．95 D．91

8．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知数列满足，下列命题：①当时，为递减数列；②当时，数列为递减数列；③当时，数列为递增数列．其中真命题的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题

9．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．的最小值为

C．

D．当且仅当时，取最大值

10．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）已知数列为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的是（       ）

A．中的最大值为 B．的最大值为

C． D．

11．（2022·重庆九龙坡·高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设“三角垛”从第一层到第层的各层的球数构成一个数列，则（       ）

A．

B．

C．

D．

三、填空题

12．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）设数列的前项和为，且，则满足的的最小值为______

13．（2022·重庆九龙坡·高二期末）设公差的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列，则的最小值为______．

14．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为_________

15．（2022·全国·高二单元测试）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为 __．

16．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝_____.

17．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．