2021-2022学年广西玉林博白县中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（　　）

A．极差是3 B．众数是4 C．中位数40 D．平均数是20.5

2．如图，是的直径，是的弦，连接，，，则与的数量关系为（    ）

A． B．

C． D．

3．一、单选题

小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦AB的长是（   ）

A． B． C． D．

5．若A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(    )

A．y1＜y2＜y3    B．y3＜y2＜y1    C．y3＜y1＜y2    D．y1＜y3＜y2

6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC的大小是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

8．平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）

A． B．

C． D．

9．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )

A．2 B．3 C．5 D．7

10．关于▱ABCD的叙述，不正确的是（　　）

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形

B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形

D．若AB＝AD，则▱ABCD是菱形

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，平行线AB、CD被直线EF所截，若∠2=130°，则∠1=_____．

12．在直角坐标系中，坐标轴上到点P（﹣3，﹣4）的距离等于5的点的坐标是　　．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．

14．计算：2（a－b）＋3b＝___________．

15．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡和同时发光的概率为___________．

16．实数，﹣3，，，0中的无理数是_____．

17．计算：sin30°﹣（﹣3）0=_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF．

求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．

19．（5分）计算：﹣3tan30°．

20．（8分）如图，已知△ABC．

（1）请用直尺和圆规作出∠A的平分线AD（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若AB=AC，∠B=70°，求∠BAD的度数．

21．（10分）（1）计算：

（2）化简：

22．（10分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；

（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．

23．（12分）如图，在五边形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．

24．（14分）    已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H

（1）观察猜想

如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是　   　；∠AHB＝　   　．

（2）探究证明

如图2，当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请直接写出点B到直线AE的距离．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
极差、中位数、众数、平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【详解】

解：A、这组数据的极差是：60-25=35，故本选项错误；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故本选项错误；
C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）÷2=40，则中位数是40，故本选项正确；
D、这组数据的平均数（25+30×2+40×4+50×2+60）÷10=40.5，故本选项错误；
故选：C．

【点睛】

本题考查了极差、平均数、中位数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．

2、C

【解析】
首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.

【详解】

解：∵是的直径，

∴∠ADB=90°.

∴∠DAB+∠B=90°.

∵∠B=∠C，

∴∠DAB+∠C=90°.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.

3、C

【解析】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，

可列方程得，

故选C．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．

4、C

【解析】
先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．

【详解】

解：，PB为的切线，

，

，

为等边三角形，

．

故选C．

【点睛】

本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．

5、B

【解析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=2，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在对称轴左侧，图象开口向上，利用y随x的增大而减小，可判断y3＜y2＜y1.

【详解】

抛物线y=x2﹣4x+m的对称轴为x=2，

当x<2时，y随着x的增大而减小，

因为-4<-3<1<2，

所以y3＜y2＜y1，

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.

6、C

【解析】
分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可．

【详解】

如图，

分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论.

∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个.

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解．

7、C

【解析】

连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C．

8、B

【解析】
根据第二象限中点的特征可得： ，

解得： .

在数轴上表示为：

故选B.

考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征

9、C

【解析】

试题解析：∵这组数据的众数为7，

∴x=7，

则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，

中位数为：1．

故选C．

考点：众数；中位数.

10、B

【解析】
由矩形和菱形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．

【详解】

解：A、若AB⊥BC，则是矩形，正确；

B、若，则是正方形，不正确；

C、若，则是矩形，正确；

D、若，则是菱形，正确；

故选B．

【点睛】

本题考查了正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定；熟练掌握正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、50°

【解析】
利用平行线的性质推出∠EFC=∠2=130°，再根据邻补角的性质即可解决问题.

【详解】

∵AB∥CD，

∴∠EFC=∠2=130°，

∴∠1=180°-∠EFC=50°，

故答案为50°

【点睛】

本题考查平行线的性质、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．

12、（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）

【解析】
由P（﹣3，﹣4）可知，P到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外一点，共有三个．

【详解】

解：∵P（﹣3，﹣4）到原点距离为5，

而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点（如图所示），

∴故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．

故答案是：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．

13、115°

【解析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．

【详解】

解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．

【点睛】

本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

14、2a+b．

【解析】
先去括号，再合并同类项即可得出答案．

【详解】

原式=2a-2b+3b

=2a+b．

故答案为：2a+b．

15、

【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解：画树状图得：

由树状图得：共有6种结果，且每种结果的可能性相同，其中能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关为：K1、K3与K3、K1共两种结果，

∴能让两盏灯泡同时发光的概率，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

16、

【解析】
无理数包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．

【详解】

解：＝4，是有理数，﹣3、、0都是有理数，

是无理数．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．

17、-

【解析】
sin30°=,a0=1(a≠0)

【详解】

解：原式=-1

=-

故答案为：-.

【点睛】

本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析

【解析】
（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；

（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF

【详解】

解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，

∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，

∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，

∴△AEO≌△BFO，

∴AE=BF；

（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO

由（1）知：∠OAC=∠OBF，

∴∠BDA=∠AOB=90°，

∴AE⊥BF．

19、1.

【解析】
直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质及特殊角三角函数值分别化简得出答案．

【详解】

﹣3tan30°

=4+﹣1﹣1﹣3×

=1．

【点睛】

此题主要考查了实数运算及特殊角三角函数值，正确化简各数是解题关键．

20、（1）见解析；（2）20°；

【解析】
（1）尺规作一个角的平分线是基本尺规作图，根据作图步骤即可画图；

（2）运用等腰三角形的性质再根据角平分线的定义计算出∠BAD的度数即可.

【详解】

（1）如图，AD为所求；

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDA=90°，

∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．

【点睛】

考查角平分线的作法以及等腰三角形的性质，掌握角平分线的作法是解题的关键.

21、（1）；（2）-1；

【解析】
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂可以解答本题；

（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．

【详解】

（1）

=

=2-.

（2）

=

=

=

=

=-1

【点睛】

本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

22、（1）﹣1+3；（2）30°．

【解析】
（1） 根据零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质求出每一部分的值, 代入求出即可;

（2）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=,根据三角形内角和定理即可求解;

【详解】

解：（1）原式=1﹣2+3=﹣1+3；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵点D，E分别是边BC，AC的中点，

∴DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°．

【点睛】

（1） 主要考查零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质；

（2）考查平行线的性质和三角形内角和定理.

23、65°

【解析】

∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，

∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.

∵AP平分∠EAB，

∴∠PAB=12∠EAB.

同理可得，∠ABP=∠ABC.

∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，

∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-∠EAB-∠ABC=180°-（∠EAB+∠ABC）=180°-×230°=65°.

24、（1），45°；（2）不成立，理由见解析；（3） .

【解析】
（1）由正方形的性质，可得 ,∠ACB＝∠GEC＝45°，求得△CAE∽△CBF，由相似三角形的性质得到，∠CAB＝＝45°，又因为∠CBA＝90°，所以∠AHB＝45°.

（2）由矩形的性质，及∠ACB＝∠ECF＝30°，得到△CAE∽△CBF，由相似三角形的性质可得∠CAE＝∠CBF，,则∠CAB＝60°，又因为∠CBA＝90°，

求得∠AHB＝30°，故不成立.

（3）分两种情况讨论：①作BM⊥AE于M，因为A、E、F三点共线，及∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，进而求得AC和EF ，根据勾股定理求得AF，则AE＝AF﹣EF，再由（2）得： ,所以BF＝3﹣3，故BM＝ .

②如图3所示：作BM⊥AE于M，由A、E、F三点共线，得：AE＝6+2，BF＝3+3，则BM＝.

【详解】

解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴ ,∠ACB＝∠GEC＝45°，   

∴∠ACE＝∠BCF，

∴△CAE∽△CBF，

∴∠CAE＝∠CBF，，

∴，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，

∵∠CBA＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

故答案为，45°；

（2）不成立；理由如下：

∵四边形ABCD和EFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°，

∴，∠ACE＝∠BCF，

∴△CAE∽△CBF，

∴∠CAE＝∠CBF，,

∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝60°，

∵∠CBA＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°﹣60°＝30°；

（3）分两种情况：

①如图2所示：作BM⊥AE于M，当A、E、F三点共线时，

由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，

在Rt△ABC和Rt△CEF中，∵∠ACB＝∠ECF＝30°，

∴AC＝，EF＝CF×tan30°＝6× ＝2 ，

在Rt△ACF中，AF＝ ,

∴AE＝AF﹣EF＝6 ﹣2，

由（2）得： ,

∴BF＝ （6﹣2）＝3﹣3，

在△BFM中，∵∠AFB＝30°，

∴BM＝BF＝ ；

②如图3所示：作BM⊥AE于M，当A、E、F三点共线时，

同（2）得：AE＝6+2，BF＝3+3，

则BM＝BF＝；

综上所述，当A、E、F三点共线时，点B到直线AE的距离为．

【点睛】

本题考察正方形的性质和矩形的性质以及三点共线，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，知道分类讨论三点共线问题是解题的关键.本题属于中等偏难.