2021-2022学年广东省广州市增城区中考数学五模试卷含解析

这是一份2021-2022学年广东省广州市增城区中考数学五模试卷含解析，共22页。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
2．在0，-2，5，，-0.3中，负数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各式中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（　　）
A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6
5．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（　　）

A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
6．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是(　　)
A． B． C． D．
7．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570
C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=570
8．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
9．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且01；②a+b<2；③3a+b>0；④a<-1，其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BCCD上，BE=CF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，完成第1次与边的碰撞，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，则小球P与正方形的边第2次碰撞到__边上，小球P与正方形的边完成第5次碰撞所经过的路程为__．

12．已知袋中有若干个小球，它们除颜色外其它都相同，其中只有2个红球，若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中小球的总个数是_____
13．在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在 区域的可能性最大（填A或B或C）．

14．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.

15．请写出一个一次函数的解析式，满足过点（1，0），且y随x的增大而减小_____．
16．如图所示，点C在反比例函数的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且，已知的面积为1，则k的值为______．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：点F是AC的中点；
（2）若∠A=30°，AF=，求图中阴影部分的面积．

18．（8分）（1）|﹣2|+•tan30°+（2018﹣π）0-（）-1
（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
19．（8分）某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查了部分学生的数学成绩，并将抽样的数据进行了如下整理．
（1）填空_______，_______，数学成绩的中位数所在的等级_________．
（2）如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计等级的人数；
（3）已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A级学生的数学成绩的平均分数．
①如下分数段整理样本
等级等级
分数段
各组总分
人数



4


843



574



171
2
②根据上表绘制扇形统计图

20．（8分）P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”
（1）⊙O的半径为6，OP=1．
①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为_____；
②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙0的“幂值”的取值范围；
（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；
（3）在平面直角坐标系xOy中，C（1，0），⊙C的半径为3，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出b的取值范围_____．

21．（8分）解不等式组并写出它的整数解．
22．（10分）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋髙楼顶部 B 的仰角为 30°，看这栋高楼底部 C 的 俯角为 60°，热气球 A 与高楼的水平距离为 120m，求这栋高楼 BC 的高度．

23．（12分）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）数轴上点B对应的数是______．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

24．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a的范围即可．
解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥1且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选C．
点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为1．
2、B
【解析】
根据负数的定义判断即可
【详解】
解：根据负数的定义可知，这一组数中，负数有两个，即-2和-0.1．
故选B．
3、A
【解析】
根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
解：A. =9，=-9，故和互为相反数，故正确；
B. =9，=9，故和不是互为相反数，故错误；
C. =-8，=-8，故和不是互为相反数，故错误；
D. =8，=8故和不是互为相反数，故错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．
4、D
【解析】
本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．
【详解】
x2-5x-6=1
（x-6）（x+1）=1
x1=-1，x2=6
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
5、D
【解析】
根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【详解】
∵如图，在△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴若1AD＞AB，即时，，
此时3S1＞S1+S△BDE，而S1+S△BDE＜1S1．但是不能确定3S1与1S1的大小，
故选项A不符合题意，选项B不符合题意．
若1AD＜AB，即时，，
此时3S1＜S1+S△BDE＜1S1，
故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选D．
【点睛】
考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
6、B
【解析】
由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.
【详解】
A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；
B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；
C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；
D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.
7、A
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，
故选A.
8、B
【解析】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。

9、A
【解析】
如图，
且图像与y轴交于点，
可知该抛物线的开口向下，即,
①当时，

故①错误．
②由图像可知，当时，
∴
∴
故②错误．
③∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
④∵，，
又∵，
∴．
故④正确．
故答案选A.

【点睛】
本题考查二次函数系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定．
10、C
【解析】
根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、AB,
【解析】
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置．再由勾股定理就可以求出小球第5次碰撞所经过路程的总长度．
【详解】
根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，
第二次碰撞点为G,在AB上,且AG=AB，
第三次碰撞点为H,在AD上,且AH=AD，
第四次碰撞点为M,在DC上,且DM=DC，
第五次碰撞点为N,在AB上,且BN=AB，
第六次回到E点,BE=BC.
由勾股定理可以得出EF=,FG= ,GH= ,HM=,MN= ,NE= ，
故小球第5次经过的路程为：+ + ++ = ，
故答案为AB， .
【点睛】
本题考查了正方形与轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与轴对称的性质.
12、8个
【解析】
根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中小球的总个数．
【详解】
袋中小球的总个数是：2÷=8（个）．
故答案为8个．
【点睛】
本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．
13、A
【解析】
试题分析：由题意得：SA＞SB＞SC，
故落在A区域的可能性大
考点: 几何概率
14、1
【解析】
利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵AD=CD，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
15、y=﹣x+1
【解析】
根据题意可以得到k的正负情况，然后写出一个符合要求的解析式即可解答本题．
【详解】
∵一次函数y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数的解析式，过点（1，0），
∴满足条件的一个函数解析式是y=-x+1，
故答案为y=-x+1．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出符合要求的函数解析式，这是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合要去即可．
16、1
【解析】
根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据的面积为1，即可求得k的值．
【详解】
解：设点A的坐标为，
过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，的面积为1，
点，
点B的坐标为，
，
解得，，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC，然后证明∠3=∠A得到FD=FA，从而有FC=FA；
（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=AC=2，再证明△OBD为等边三角形得到∠BOD=60°，接着根据切线的性质得到OD⊥EF，从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ODE-S扇形BOD进行计算即可．
【详解】
（1）证明：连接OD、CD，如图，

∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵EF为⊙O的切线，
∴FD=FC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠A，
∴FD=FA，
∴FC=FA，
∴点F是AC中点；
（2）解：在Rt△ACB中，AC=2AF=2，
而∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=AC=2，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
在Rt△ODE中，DE=OD=，
∴S阴影部分=S△ODE﹣S扇形BOD=×1×﹣=﹣π．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
18、（1）-1（1）-1
【解析】
（1）先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，然后按照实数的运算法则计算即可；
（1）把括号里通分，把的分子、分母分解因式约分，然后把除法转化为乘法计算；然后求出不等式组的整数解，选一个使分式有意义的值代入计算即可.
【详解】
（1）原式=1+3×+1﹣5
=1++1﹣5
=﹣1；
（1）原式=
=
=
=﹣，
解不等式组得：-1≤x
则不等式组的整数解为﹣1、0、1、1，
∵x（x+1）≠0且x﹣1≠0，
∴x≠0且x≠±1，
∴x=1，
则原式=﹣=﹣1．
【点睛】
本题考查了实数的运算，分式的化简求值，不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键，本题的易错点是容易忽视分式有意义的条件.
19、（1）6；8；B；（2）120人；（3）113分．
【解析】
（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以求得本次抽查的人数，从而可以得到m、n的值，从而可以得到数学成绩的中位数所在的等级；
（2）根据表格中的数据可以求得D等级的人数；
（3）根据表格中的数据，可以计算出A等级学生的数学成绩的平均分数．
【详解】
（1）本次抽查的学生有：（人），
，
数学成绩的中位数所在的等级B，
故答案为：6，11，B；
（2）120（人），
答：D等级的约有120人；
（3）由表可得，
A等级学生的数学成绩的平均分数：（分），
即A等级学生的数学成绩的平均分是113分．
【点睛】
本题考查了扇形统计图、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20、（1）①20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）﹣3≤b≤.
【解析】
【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；
②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；
（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案；
（3）过点C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可确定出b的取值范围．
【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP，

∵OA=OB，P为AB的中点，
∴OP⊥AB，
∵在△PBO中，由勾股定理得：PB==2，
∴PA=PB=2，
∴⊙O的“幂值”=2×2=20，
故答案为：20；
②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：
如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，

∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，
∴△APA′∽△B′PB，
∴，
∴PA•PB=PA′•PB′=20，
∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；
（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，

∵AO=OB，PO⊥AB，
∴AP=PB，
∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2，
在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，
∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，
故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；
（3）如图1所示：过点C作CP⊥AB，
，
∵CP⊥AB，AB的解析式为y=x+b，
∴直线CP的解析式为y=﹣x+．
联立AB与CP，得，
∴点P的坐标为（﹣﹣b，+b），
∵点P关于⊙C的“幂值”为6，
∴r2﹣d2=6，
∴d2=3，即（﹣﹣b）2+（+b）2=3，
整理得：b2+2b﹣9=0，
解得b=﹣3或b=，
∴b的取值范围是﹣3≤b≤，
故答案为：﹣3≤b≤.
【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．
21、不等式组的解集是5＜x≤1，整数解是6，1
【解析】
先分别求出两个不等式的解，求出解集，再根据整数的定义得到答案.
【详解】

∵解①得：x＞5，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集是5＜x≤1，
∴不等式组的整数解是6，1．
【点睛】
本题考查求一元一次不等式组，解题的关键是掌握求一元一次不等式组的方法
22、这栋高楼的高度是
【解析】
过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．
【详解】
过点A作AD⊥BC于点D,

依题意得，，，AD=120，
在Rt△ABD中，
∴，
在Rt△ADC中，
∴，
∴ ，
答：这栋高楼的高度是.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
23、（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等
【解析】
试题分析：（1）根据OB=3OA，结合点B的位置即可得出点B对应的数；
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，找出点M、N对应的数，再分点M、点N在点O两侧和点M、点N重合两种情况考虑，根据M、N的关系列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）∵OB=3OA=1，
∴B对应的数是1．
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
此时点M对应的数为3x-2，点N对应的数为2x．
①点M、点N在点O两侧，则
2-3x=2x，
解得x=2；
②点M、点N重合，则，
3x-2=2x，
解得x=2．
所以经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
24、（1）A'到BD的距离是1.2m；（2）A'到地面的距离是1m．
【解析】
（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．根据同角的余角相等证得∠2=∠3；再利用AAS证明△ACB≌△BFA'，根据全等三角形的性质即可得A'F=BC，根据BC=BD﹣CD求得BC的长，即可得A'F的长，从而求得A'到BD的距离；（2）作A'H⊥DE，垂足为H，可证得A'H=FD，根据A'H=BD﹣BF求得A'H的长，从而求得A'到地面的距离.
【详解】
（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．

∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°；
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F=BC，
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.8；
∴BC=BD﹣CD=3﹣1.8=1.2，
∴A'F=1.2，即A'到BD的距离是1.2m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF=AC=2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H=FD，
∴A'H=BD﹣BF=3﹣2=1，即A'到地面的距离是1m．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，作出辅助线，证明△ACB≌△BFA'是解决问题的关键.