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2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题三 新定义型问题 课件
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这是一份2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题三 新定义型问题 课件，共34页。PPT课件主要包含了代数类，几何类，综合类，解题方法，定义新运算，对应训练，定义新符号，-3＜x≤-2，解答这类题时要注意，解决此类题的关键是等内容，欢迎下载使用。
“新定义”型问题，是指命题者用下定义的方式，在问题中定义了一些没有学过的新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求答题者“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型。这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式。
解决此类问题的方法，就是要认真阅读材料，把握题意，注意一些例子、关键名词、符号、规则等，了解新定义所代表的意义，并将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题。“遮遮掩掩似新人，揭去面纱是故友”。
这类问题是以加、减、乘、除、乘方、开方等运算为基础，定义了很多新运算。实质是给出了一种新符号、新法则，以此考查学生的思维应变能力和演算能力。解这种题的关键是深刻理解所给的定义和规则，将它们转化成我们熟悉的运算。 “新定义，旧运算”。
考点1 代数类新定义型问题
对于任意实数a、b，a ♢ b=2a+b。例如3 ♢4=2 ×3+4=10.
（1）求2 ♢（-5）的值；
（2）已知x ♢（-y）=2，且2y ♢x=-1，求 x + y 的值.
=2 × 2+（-5）=-1
（2）∵x ♢（-y）=2 且 2y ♢x=-1
∴2x +（-y）=2 且 2×2y +x=-1
①＋②得3x+3y=1
【感悟】理解算理算法是关键.
1．对于实数x，规定［x］表示不小于x的最小整数，例如［1.2］=2， ［3］=3， ［-2.5］=-2，则
（1）填空： ① ［-π］= ； ② 若［x］=-2，则x的取值范围是 .
【感悟】理解符号规定是关键.
3．定义运算“※”为：a ※ b=a × b-(a+b) ，则
（1）填空： ① 5※7 = , 7※5 = ； ② 12※(3※4) = , (12※3) ※4 = .
（2）“※”这个运算 交换律，“※”这个运算 结合律. (填“有”或“没有”）
（3）如果3※（5 ※ x）=3，求x的值.
5※x =5x-(5+x)=5x-5-x=4x-5
∵ 3※（5 ※ x）=3
∴ 3※（4x-5） =3
∴ 3（4x-5）-［3+（4x-5)］ =3
∴ 12x-15-3-4x+5=3
4．我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若 我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i），并且进一步 规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立， 于是有 i1=i，i2=-1， i3= i2 · i=（-1） · i= -i， i4=（i2）2 =（-1）2=1，从而 对任意正整数n，我们可以得到i4n+1= i4n · i =(i4)n · i= i，同理可得i4n+2=-1， i4n+3=-i， i4n=1，那么i+i2+i3+i4+ … +i2015+i2016的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. I
i+i2+i3+i4 =i+（-1）+（-i）+1=0
2016 ÷4=504
（1）有括号时，应先算括号里的；
（2）新定义的运算不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些 运算律来解题；
（3）符号 ♢ ，※，△ ，● ，☆ …… 所表示的运算并不是一种固定的 算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格 按不同的规定进行运算。
在近年的中考试题中,涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题。有的定义一个新点（准外心、关联点、黄金分割点等），有的定义一个新线段（中对线、黄金分割线等），有的定义一个新三角形（好玩三角形、叠弦三角形、曲边三角形等）、有的定义一个新四边形（垂美四边形、友好矩形、等邻边四边形、黄金矩形、曲边梯形等）、有的定义一个新几何体（相似体等）。共同特点就是给出新定义，提出新问题，通过实验、探究、猜想，在新定义下解决新几何问题。
考点2 几何类新定义型问题
如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作 形成的折痕分别是线段_____，_____；S矩形AEFG：S□ABCD ＝______．
∴S矩形AEFG：S□ABCD
由折叠的轴对称性质，得AD＝2AG．
∵S矩形AEFG＝AE·AG，S□ABCD＝AE·AD
＝（AE·AG）： （AE·AD）
也可以用对称性直接说1:2.
（2） □ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5， EH＝12，求AD的长．
由折叠的轴对称性质可知
∴AD＝AH＋HD＝FC＋HN＝FN＋HN＝FH
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∠A＝∠C
∴△AEH≌△CGF（AAS）
∵四边形EFGH是叠合矩形
HD＝HN，FC＝FN
又∵ Rt ∆FEH中
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD
∴HG＝BE=EH=BG＝4
∴由勾股定理得 CG＝3
∴BF＝BG－FG＝1
BC＝BG＋CG＝4＋3＝7
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线. （1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。
∴四边形ABEF是邻余四边形
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线
∴∠DAB+∠B=90°
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF， 使AB是邻余线，E，F在格点上。
开放性的命题，答案不唯一：
在过点A的水平线与过点B的竖直线（或过点A的竖直线与过点B的水平线）上各取一个格点F、E，再顺次连接A、F、E、B。即可得出所求的邻余四边形。
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N。 若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长。
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线
∴CE=CD+DE=5BE
∵由（1）可知∠ADB=90°
这类问题常常以代数几何综合题的形式出现, 其解题关键点是借助几何直观解题, 运用方程、 函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．
考点3 综合类新定义型问题
定义：如果两条线段 相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这样的两条线段为“垂等线段”.
（1）在平面直角坐标系中，点A（0,4）、B（3,0），如果线段AB与线段BC是“垂等线段” 则C点坐标为 ；
(7，3）或（-1，-3）
把线段BA绕点B顺时针旋转90°得点C1，逆时针旋转90°得点C2.
（2）抛物线y=(x-1)(ax-2) 与y轴交于点A（0,2），与x轴交于点B（1,0）和点C.
① 当a=1时，如图，点D的坐标为（m,4），在抛物线上存在点E使得线段DE与线段AB为“垂等线段”， 求m的值;
分别过点D、E作y轴、x轴的平行线交于点F，
∴EF=AO=2，FD=OB=1
如图，当点E在点D下方时
当a=1时， y=(x-1)(ax-2) =（x-1）(x-2)=x2-3x+2
代入 y=x2-3x+2中
如图，当点E在点D上方时
同理得点E的坐标为（m+2,5）
② 点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得线段PQ与线段AB为“垂等线段”， 且它们互相平分，若存在，直接写出a的值，若不存在，请说明理由.
∵线段PQ与线段AB为“垂等线段”且它们互相平分
∴如图，四边形APBQ为正方形
过Q作QD⊥x轴，过A作AE⊥QD，垂足分别为D、E
设BD=EQ=b,QD=AE=c
代入y=(x-1)(ax-2) 中
如果P、Q两点位置交换，依然符合题目要求，此时
（1）深刻理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤 和结论，尽可能把文字语言转化为图形语言，且注意各种可能的图 形分类；
（2）揭示新概念的本质，重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正 确运用“新定义”，归纳“举例”提供的做题方法及分类情况；
（3）依据“新定义”，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的 数学思想方法解决题目中的问题；
（4）准确画图能起到事半功倍的效果。
新定义型问题热点 —函数及图象
③ 画界线，分区域；
④ 分区域讨论，定“较小值函数”解析式及图象.
① 在同一个平面直角坐标系中分别画出函数y1、y2的图象；
① 在如图的平面直角坐标系中画出函数y的图象；
② 写出函数y的两条性质；
① 函数y的图象如图所示.
② 函数y的两条性质:
当x=1时，函数有最大值；
在每个象限内，随着x的增大，函数y的值先增大后减小.
又∵这部分图象只有在x=1或x=-1时，才有y=0
x=a在x=-1和x=1之间.
这部分图象又是以y轴为分界线的，所以还有界线x=0.
综上，直线x=a只能在①②③三个区域。
符合“当a取某个范围内的任意值时，b为定值”.
不符合“当a取某个范围内的任意值时，b为定值”.
∵ m为常数，且m≠0
∴分m＞0和m＜0两种情况讨论 .
函数y1 =x2-2mx的对称轴为x=m
随着x的增大，函数y的值也增大.
随着x的增大，函数y的值先增大后减小.
也符合讨论的前提条件m＞0
第二种情况：m ＜ 0时
随着x的增大，函数y的值减少.
也符合讨论的前提条件m ＜ 0
“新定义”型问题，是指命题者用下定义的方式，在问题中定义了一些没有学过的新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求答题者“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型。这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式。
解决此类问题的方法，就是要认真阅读材料，把握题意，注意一些例子、关键名词、符号、规则等，了解新定义所代表的意义，并将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题。“遮遮掩掩似新人，揭去面纱是故友”。
这类问题是以加、减、乘、除、乘方、开方等运算为基础，定义了很多新运算。实质是给出了一种新符号、新法则，以此考查学生的思维应变能力和演算能力。解这种题的关键是深刻理解所给的定义和规则，将它们转化成我们熟悉的运算。 “新定义，旧运算”。
考点1 代数类新定义型问题
对于任意实数a、b，a ♢ b=2a+b。例如3 ♢4=2 ×3+4=10.
（1）求2 ♢（-5）的值；
（2）已知x ♢（-y）=2，且2y ♢x=-1，求 x + y 的值.
=2 × 2+（-5）=-1
（2）∵x ♢（-y）=2 且 2y ♢x=-1
∴2x +（-y）=2 且 2×2y +x=-1
①＋②得3x+3y=1
【感悟】理解算理算法是关键.
1．对于实数x，规定［x］表示不小于x的最小整数，例如［1.2］=2， ［3］=3， ［-2.5］=-2，则
（1）填空： ① ［-π］= ； ② 若［x］=-2，则x的取值范围是 .
【感悟】理解符号规定是关键.
3．定义运算“※”为：a ※ b=a × b-(a+b) ，则
（1）填空： ① 5※7 = , 7※5 = ； ② 12※(3※4) = , (12※3) ※4 = .
（2）“※”这个运算 交换律，“※”这个运算 结合律. (填“有”或“没有”）
（3）如果3※（5 ※ x）=3，求x的值.
5※x =5x-(5+x)=5x-5-x=4x-5
∵ 3※（5 ※ x）=3
∴ 3※（4x-5） =3
∴ 3（4x-5）-［3+（4x-5)］ =3
∴ 12x-15-3-4x+5=3
4．我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若 我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i），并且进一步 规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立， 于是有 i1=i，i2=-1， i3= i2 · i=（-1） · i= -i， i4=（i2）2 =（-1）2=1，从而 对任意正整数n，我们可以得到i4n+1= i4n · i =(i4)n · i= i，同理可得i4n+2=-1， i4n+3=-i， i4n=1，那么i+i2+i3+i4+ … +i2015+i2016的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. I
i+i2+i3+i4 =i+（-1）+（-i）+1=0
2016 ÷4=504
（1）有括号时，应先算括号里的；
（2）新定义的运算不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些 运算律来解题；
（3）符号 ♢ ，※，△ ，● ，☆ …… 所表示的运算并不是一种固定的 算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格 按不同的规定进行运算。
在近年的中考试题中,涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题。有的定义一个新点（准外心、关联点、黄金分割点等），有的定义一个新线段（中对线、黄金分割线等），有的定义一个新三角形（好玩三角形、叠弦三角形、曲边三角形等）、有的定义一个新四边形（垂美四边形、友好矩形、等邻边四边形、黄金矩形、曲边梯形等）、有的定义一个新几何体（相似体等）。共同特点就是给出新定义，提出新问题，通过实验、探究、猜想，在新定义下解决新几何问题。
考点2 几何类新定义型问题
如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作 形成的折痕分别是线段_____，_____；S矩形AEFG：S□ABCD ＝______．
∴S矩形AEFG：S□ABCD
由折叠的轴对称性质，得AD＝2AG．
∵S矩形AEFG＝AE·AG，S□ABCD＝AE·AD
＝（AE·AG）： （AE·AD）
也可以用对称性直接说1:2.
（2） □ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5， EH＝12，求AD的长．
由折叠的轴对称性质可知
∴AD＝AH＋HD＝FC＋HN＝FN＋HN＝FH
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∠A＝∠C
∴△AEH≌△CGF（AAS）
∵四边形EFGH是叠合矩形
HD＝HN，FC＝FN
又∵ Rt ∆FEH中
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD
∴HG＝BE=EH=BG＝4
∴由勾股定理得 CG＝3
∴BF＝BG－FG＝1
BC＝BG＋CG＝4＋3＝7
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线. （1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。
∴四边形ABEF是邻余四边形
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线
∴∠DAB+∠B=90°
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF， 使AB是邻余线，E，F在格点上。
开放性的命题，答案不唯一：
在过点A的水平线与过点B的竖直线（或过点A的竖直线与过点B的水平线）上各取一个格点F、E，再顺次连接A、F、E、B。即可得出所求的邻余四边形。
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N。 若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长。
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线
∴CE=CD+DE=5BE
∵由（1）可知∠ADB=90°
这类问题常常以代数几何综合题的形式出现, 其解题关键点是借助几何直观解题, 运用方程、 函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．
考点3 综合类新定义型问题
定义：如果两条线段 相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这样的两条线段为“垂等线段”.
（1）在平面直角坐标系中，点A（0,4）、B（3,0），如果线段AB与线段BC是“垂等线段” 则C点坐标为 ；
(7，3）或（-1，-3）
把线段BA绕点B顺时针旋转90°得点C1，逆时针旋转90°得点C2.
（2）抛物线y=(x-1)(ax-2) 与y轴交于点A（0,2），与x轴交于点B（1,0）和点C.
① 当a=1时，如图，点D的坐标为（m,4），在抛物线上存在点E使得线段DE与线段AB为“垂等线段”， 求m的值;
分别过点D、E作y轴、x轴的平行线交于点F，
∴EF=AO=2，FD=OB=1
如图，当点E在点D下方时
当a=1时， y=(x-1)(ax-2) =（x-1）(x-2)=x2-3x+2
代入 y=x2-3x+2中
如图，当点E在点D上方时
同理得点E的坐标为（m+2,5）
② 点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得线段PQ与线段AB为“垂等线段”， 且它们互相平分，若存在，直接写出a的值，若不存在，请说明理由.
∵线段PQ与线段AB为“垂等线段”且它们互相平分
∴如图，四边形APBQ为正方形
过Q作QD⊥x轴，过A作AE⊥QD，垂足分别为D、E
设BD=EQ=b,QD=AE=c
代入y=(x-1)(ax-2) 中
如果P、Q两点位置交换，依然符合题目要求，此时
（1）深刻理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤 和结论，尽可能把文字语言转化为图形语言，且注意各种可能的图 形分类；
（2）揭示新概念的本质，重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正 确运用“新定义”，归纳“举例”提供的做题方法及分类情况；
（3）依据“新定义”，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的 数学思想方法解决题目中的问题；
（4）准确画图能起到事半功倍的效果。
新定义型问题热点 —函数及图象
③ 画界线，分区域；
④ 分区域讨论，定“较小值函数”解析式及图象.
① 在同一个平面直角坐标系中分别画出函数y1、y2的图象；
① 在如图的平面直角坐标系中画出函数y的图象；
② 写出函数y的两条性质；
① 函数y的图象如图所示.
② 函数y的两条性质:
当x=1时，函数有最大值；
在每个象限内，随着x的增大，函数y的值先增大后减小.
又∵这部分图象只有在x=1或x=-1时，才有y=0
x=a在x=-1和x=1之间.
这部分图象又是以y轴为分界线的，所以还有界线x=0.
综上，直线x=a只能在①②③三个区域。
符合“当a取某个范围内的任意值时，b为定值”.
不符合“当a取某个范围内的任意值时，b为定值”.
∵ m为常数，且m≠0
∴分m＞0和m＜0两种情况讨论 .
函数y1 =x2-2mx的对称轴为x=m
随着x的增大，函数y的值也增大.
随着x的增大，函数y的值先增大后减小.
也符合讨论的前提条件m＞0
第二种情况：m ＜ 0时
随着x的增大，函数y的值减少.
也符合讨论的前提条件m ＜ 0
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