2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题二 开放性问题 课件

这是一份2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题二 开放性问题 课件，共45页。PPT课件主要包含了条件开放型，结论开放型，综合开放型，解题方法，对应训练，yx+2，y-x-2，y2x+4，或7或9或12等内容，欢迎下载使用。

开放性问题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，简单来说就是条件（或结论）给定不完全、答案不唯一的一类问题。重在考查学生观察、实验、验证、推理及分析问题和解决问题的能力。
解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．
这类问题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件。解这种题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向推理，逐步探寻。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。
考点1 条件开放型问题
　已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？
1．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件， 使△AOB≌△DOC， 你补充的条件是 ．(填出一个即可)
∠ ABC= ∠ DCB
∠ ACB= ∠ DBC
K=0，1 , 2，…
3．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线 上分别取点E，F，连结BE，CF.
（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ，并证明．
∴平行四边形BFCE为矩形
又∵EH＝FH，∠BHE=∠CHF
∴ △BEH≌△CFH（SAS）
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
当BH=EH时，四边形BFCE是矩形
∵BH＝CH，EH＝FH
∴四边形BFCE是平行四边形
∵当BH＝EH时，BC＝EF
5．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是整数”是假命题， 你举的反例是x＝____．(写出一个x的值即可)
6. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__ ． (添加一个条件即可)
∠ABC＝90°或AC＝BD (答案不唯一)
7．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD.请你添加一个适当的条件， 使△ABC≌△ADE. (只能添加一个)
（1）你添加的条件是：
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE(AAS)
解条件开放型问题时，在一般方法上运用逆向思维，从结论部分或部分条件出发，逆向思维推出所需条件。
这类问题是指条件给定，结论不确定，并且符合条件的结论往往呈现多样性。解这种题的一般思路是：充分利用已知条件或图形特征，从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论。
考点2 结论开放型问题
如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.
（1）求证：△ADP∽△BDA；
作⊙O的直径AE，连接PE
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线
∴∠DAE＝∠APE＝90°
∴∠PAD＋∠PAE＝∠PAE＋∠E＝90°
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（2） PA＋PB＝PC
∴△PBF是等边三角形
∴PB＝BF，∠BFP＝60°
∴∠BFC＝180°－∠PFB＝120°
又∵∠BPA＝∠APC＋∠BPC＝120°
在△BPA和△BFC中
∴△BPA≌△BFC(AAS)
∴PA＋PB＝CF＋PF＝PC
在线段PC上截取PF＝PB，连接BF
1．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC， 使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
△CNM ∽ △CAB
过点M作MN ⊥AC于点N
过点M作MG ⊥AB于点G
△MGB ∽ △CAB
过点M作MH ⊥BC交AC于点H
△CMH ∽ △CAB
2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分 是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上 阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心 对称图形，则这个格点正方形的作法共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．直线l过点M(－2，0)，该直线的解析式可以写为 ． (只写出一个即可)
设y=kx+b(k≠0)
将M(－2，0)代入，得
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)， 其中正确的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1
∵抛物线与x轴有两个交点∴ b2－4ac ＞0 ∴ 4ac－b2＜0
∵x=-2时，y= 4a-2b＋c ＞ 0 ∴ 4a＋c ＞ 2b
又∵x=1时，y=a+b+c ＜ 0
∵ 当x=－1时，y=a-b+c最大
又∵x=m时，y=am2 +bm+c
∴am2 +bm+c＜a-b+c
∴am2 +bm+b＜a
∴m(am+b)+b＜a
解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．
此类问题没有明确的条件，没有固定的结论，并且符合条件的结论具有多样性，解答时必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下应该有什么样的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断。
考点3 综合开放型
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上． 若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
AB为腰，A为顶角顶点时（即AB=AC）
以点A为圆心，AB长为半径作⊙A与直线y=x交于C1、C2两点
AB为腰，B为顶角顶点时（即BA=BC）
以点B为圆心，AB长为半径作⊙B与直线y=x无交点
过点B作BE⊥直线y=x，垂足为E.
∵∠BOE=45º，OB=6
∴⊙B与直线y=x相离（无交点）
△=(-6)2-4×1×10=-4＜0
根据两点间距离公式得42=(0-a)2+(6-a)2
假设有交点，设为C（a，a），则BA2=BC2
化简得a2-6a+10=0
AB为底，C为顶角顶点时（即CA=CB）
作AB的垂直平分线与直线y=x交于点C3，垂足为点D
∵ DC3垂直平分线AB，垂足为点D
∵ DC3⊥y轴，x轴⊥y轴
综上所述，答案3个，选B。
1．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的 网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示， 则△ABC是直角三角形的个数有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
以AB为直角边，A为直角顶点
以AB为直角边，B为直角顶点
以AB为斜边，C为直角顶点
以AB的中点D为圆心AB为半径画圆
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
2. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境.
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是____，____；(填写序号)
（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
情境是小芳离开家到公园，休息了一会儿，又走回了家.
3．如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB，若点P是线段OD上的动点， 连接PA，则∠PAB的度数可以是__ ．(写出一个即可)
∴ 60°≤∠PAB≤75°
连接DA、OA，则△OAB是等边三角形
∴∠OAB=∠AOB=60°
∴∠DAB=90°-15°=75°
∵点P是线段OD上的动点
∴ ∠ OAB≤∠PAB≤ ∠DAB
4.在下列三个不为0的式子 x2-4 , x2-2x , x2-4x+4中,任选两个你喜欢的式子组成一个
分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 。
x2-4 和 x2-2x
x2-2x 和x2-4x+4
x2-4 和x2-4x+4
5．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点 E以1 cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t(s) (0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为 ． (填出一个正确的即可)
△EFB ∽ △ ACB
∴ AO=BO＝4cm
∴ CF=BF＝2cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm.动点M，N从点C同时 出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点P从点B 出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t (单位：秒，0＜t＜2.5)．
（1）当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似？
∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm
根据题意可知以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△APM∽△ABC时
②当△AMP∽△ABC时
以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值； 若不存在，请说明理由．
存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H.
则∠ BHP=∠C=90°
解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．
《归纳猜想》、《开放型探究》 二合一型几何综合题
【探究发现】 如图①，△ABC是等边三角形，∠AEF＝60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在 的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE＝EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上(B，C除外)任意一点时(其他条件不变)，结论AE＝EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图②中画出图形，并证明AE＝EF.
∵ △ABC是等边三角形
∴AB=AC， ∠ BAC=∠ACB=60°
∴AE ⊥ BC且AE平分∠ BAC
∴ ∠ AEC=90°，∠ EAC=30°
∴ ∠ FEC=90°-60°=30°
∴ ∠ AOE=180°-30°-60°=90°
∵CF是等边△ABC外角的平分线
∴ ∠ ECF= ∠ACB+ ∠ACF=60°+60°= 120°
∴ ∠EFC=180°-30°-120°=30°
∴ ∠EFC=∠FEC
△AEO中，∵∠AOE=90°，∠EAO=30°
但是这种方法有它的特殊性，不能推广到一般情况。
∴AB=BC， ∠ABC=∠ACB=60°
在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG
∴AB-AG=BC-EC
∴△BEG是等边三角形
∴ ∠ BGE=60°
∴ ∠ AGE=120°
∴ ∠AGE= ∠ ECF
∵ ∠AEC是△ABE的一个外角
∴ ∠ AEC= ∠ABC+ ∠BAE=60°+∠BAE
又∵ ∠ AEC= ∠AEF+ ∠FEC
∴ ∠ AEC=60°+∠FEC
∴ ∠ AEC=60°+∠FEC=60°+∠BAE
∴ ∠FEC=∠BAE
∴ △ AGE ≌ △ECF（ASA）
这种方法就没有特殊性，可以推广到一般情况。
选“点E是线段BC上的任意一点”
在CA上截取CG，使CG=CE，连接EG
∴△CEG是等边三角形
∴ ∠ AEF= ∠CEG
∴ ∠ AEG+∠GEF= ∠ CEF+∠GEF
∴ ∠AEG=∠CEF
∴ EG = EC， ∠CEG= ∠CGE=60°
比方法1简单，就近原理。
∠ G= ∠CEG=60°
在FC延长线上截取CG，使CG=EC，连接EG
∴△ECG是等边三角形
∴ ∠ ECG=∠FCD =60°
∴ ∠G= ∠ ACE
∴ ∠AEF+ ∠FEC=∠ GEC+∠FEC
∴ ∠ AEF= ∠GEC
即 ∠AEC=∠FEG
∴ △ AEC ≌ △FEG（ASA）
选“点E是线段BC延长线上的任意一点”
∴AB=BC， ∠BAC =∠ABC=∠ACB=60°
在BA延长线上截取AG，使AG=EC，连接EG
∴AB+AG=BC+EC
∵ ∠GAE是△ABE的一个外角
∴ ∠ GAE= ∠ABC+ ∠AEB=60°+∠AEB
又∵ ∠ CEF= ∠AEF+ ∠AEB
∴ ∠ CEF=60°+∠AEB
∴ ∠GAE=∠CEF
选“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”
∵CH是等边△ABC外角的平分线
∴ ∠ ECF= ∠HCD=60°
在BA反向延长线上截取BG，使BG=BE，连接EG
∴AB+BG=BC+BE
∴ ∠G= ∠ ECF
∵ ∠ABC是△ABE的一个外角
∴ ∠ AEC= ∠ABC- ∠BAE=60°-∠BAE
又∵ ∠ AEC= ∠AEF- ∠FEC
∴ ∠ AEC=60°-∠FEC
∴ ∠ AEC=60°-∠FEC=60°-∠BAE
又∵ ∠EBG= ∠ABC=60°
当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，在图③中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC∶S△AEF的值．
由数学思考得 AE=EF
∴△AEF是等边三角形
又∵ △ABC也是等边三角形
AC=BC， ∠BAC =∠ACB=60°
∴ ∠ CAE= ∠ CEA
又∵ ∠ CAE+∠ CEA=∠ACB=60°
∴ ∠ CAE= ∠ CEA=30°
∴ ∠ BAE=∠BAC+ ∠ CAE=60°+30°=90°