2021-2022学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（下）返校考数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（下）返校考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的倒数为

A.  B.  C.  D.

2. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 月球与地球的距离约为，可将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 计算：

A.  B.  C.  D.

5. 抛物线的顶点坐标为

A.  B.  C.  D.

6. 已知是方程的一个根，则实数的值是

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以

A. 向左平移个单位 B. 向上平移个单位
C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位

8. 如图，中，为边上一点，下列选项中的条件，不能说明与相似的是

A.
B.
C.
D.
 

9. 直径为分米的圆柱形排水管，截面如图所示若管内有积水阴影部分，水面宽为分米，则积水的最大深度为

A. 分米
B. 分米
C. 分米
D. 分米

10. 抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是______．
12. 因式分解：______．
13. 小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是______．
14. 已知一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的弧长是______．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度的最小值是______．
16. 如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，若反比例函数的图象经过、两点，则的值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

18. 如图，▱中，，是对角线上两点，且求证．

19. 已知关于的一元二次方程．
    若方程有实数根，求实数的取值范围；
    若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，中，，点为边中点，且，．
    请用尺规作图在上作一点，使得；不写作法，保留痕迹
    在的条件下，连接，若，求的面积．

21. 某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表．

这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是______，众数是______．
这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？结果保留整数
若该校某天有名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在次以上含次的学生有多少名．






 

22. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
    求出与之间的函数关系式不用写自变量的取值范围；
    设该网店每月获得的利润为元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．
    求证：是的切线；
    过点作的切线交的延长线于点，，求的长．

24. 已知等腰直角三角形中，，，分別是腰，上点，连接，设．
    当点是的中点时：
    如图，若是的中点，直接写出的值为______；
    如图，若，求的值；
    如图，若，当如时，求的值．

25. 已知抛物线．
    如图，当时，抛物线分别交轴于，两点，交轴于点．
    直接写出直线的解析式；
    点在直线下方抛物线上，作轴，交线段于点，作轴，交抛物线于另一点，若，求点的坐标；
    如图，若抛物线与轴有唯一公共点，直线：与抛物线交于、两点点在点右边，直线轴，交直线于点，且点的纵坐标为，求证：直线过定点．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
根据倒数的意义，乘积是的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．
本题主要考查倒数的意义．解题的关键是注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．
 

2.【答案】
 

【解析】解：旋转，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
B.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的性质得出图形旋转，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故选：．
直接由抛物线的顶点式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．
 

6.【答案】
 

【解析】解：根据题意，将代入，得：，
解得：，
故选：．
将代入得到关于的方程，解之可得．
本题主要考查了方程的解的定义，正确求解的值是解决本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：的顶点坐标是．
的顶点坐标是．
所以将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，
故选：．
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、当，时，∽，故本选项不符合题意；
B、当，时，∽，故本选项不符合题意；
C、当，即：：时，结合可以判定∽，故本选项不符合题意；
D、当时，不能判断和相似．
故选：．
本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，如图所示：
的直径为分米，
分米，
由题意得：，分米，
分米，
分米，
水的最大深度分米，
故选：．
连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最大值；
．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：若点与点关于原点成中心对称，则的值是．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出的值．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：


由于多项式二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式
 

13.【答案】
 

【解析】解：在，，，，，这六个数中，满足不等式的有、这两个，
所以满足不等式的概率是，
故答案为：．
找到满足不等式的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】
 

【解析】解：此扇形的弧长，
故答案为．
根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式为圆心角，为半径．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，点，

点在直线上运动，点在双曲线上运动，
根据图象的对称性可知：作直线交图象与、点，此时最小，
，，
最小值为，
故答案为：．
根据点的坐标可知点在直线上运动，点在双曲线上运动，则根据图象的对称性可知：作直线交图象与、点，此时最小，即可解决问题．
本题主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，反比例函数和一次函数图象的轴对称性等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：作轴于，延长，交于，设与轴的交点为，
四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
，
，
与轴平行，与轴平行，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
解得：，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式求得，易证得≌，得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，设，则，根据反比例函数的定义得出关于的方程，解方程求得，即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出、的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：原方程可以变形为
，
，．
 

【解析】利用因式分解法解方程即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，通过观察方程形式对方程分解因式是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】由“”可证≌，得出，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
实数的取值范围为．
，是关于的一元二次方程的两实数根，
，．
，
，
，
，
解得：，
实数的值为．
 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求；

如上图，连接，，
，，，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
．
的面积为．
 

【解析】在延长线上截取，然后作的垂直平分线交于点，即可解决问题；
连接，，证明是的中位线，可得，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理可得，进而可以解决问题．
本题考查了作图复杂作图，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：总人数为，
中位数为第、个数据的平均数，即中位数为次，众数为次，
故答案为：、；

次，
答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约次；

人，
答：估计这天使用共享单车次数在次以上含次的学生有人．
根据中位数和众数的定义求解可得；
根据加权平均数的公式列式计算即可；
用总人数乘以样本中使用共享单车次数在次以上含次的学生所占比例即可得．
本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
 

22.【答案】解：由题意可得：，
与的函数关系式为；
由题意得：


，
，抛物线开口向下，
有最大值，即当时，，
降价为元，
每条裤子的售价降价元时，每月获得的利润最大，最大利润是元．
 

【解析】根据销售单价每降元，则每月可多销售条，写出与的函数关系式；
该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连结，
，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线

解：，
∽

，，
，
，是的切线
，
，即
解得：．
 

【解析】连，，根据圆周角定理得到，而，，于是；
根据已知条件得到∽由相似三角形的性质得到，求得，由切线的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．
 

24.【答案】
 

【解析】解：如图中，过点作于点．


等腰直角三角形中，
，
是等腰直角三角形，

点是中点，点是中点
，
，


故答案为：．
如图中，过点作于点．


等腰直角三角形中，

是等腰直角三角形，

点是中点
，






∽
．

如图中，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于，交于，连接交于，延长交的延长线于，设交于点，交于点．

易证四边形是正方形，≌≌≌，
，，可得正方形，设，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
易证：≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
由点、分别为、中点可知，为中位线，所以，过点作于点，利用、为等腰直角三角形斜边与直角边的关系即求得的值．
过点作于点，由易证∽，所以由的计算过程得与的长度关系，代入即求得的值．
如图中，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于，交于，连接交于，延长交的延长线于，设交于点，交于点易证四边形是正方形，≌≌≌，，，可得正方形，设，想办法求出即可．
本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：时，．
令，则，
，
令，则或，
，
设直线：，
将，代入，
，
解得，
直线的解析式：；
设点的坐标为，的坐标为，
则，
轴，
点与点关于对称轴对称，
的坐标为，
，
，
，
当时，，
解得：，舍去，
，此时点的坐标为，
当时，，
解得：，舍去，
，此时点的坐标为，
点的坐标或
抛物线与轴有唯一公共点，
，
解得，
此时，
过点作轴于点，交轴于点，

设点，，，
则，
、是方程的两个解，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
直线解析式为，
当时，
直线过定点．
 

【解析】时，得到，令，得，设直线：，将，代入，求出、的值，即得到直线的解析式；
设点的坐标为，的坐标为，则，由轴，得的坐标为，所以，根据，得出，分两种情况当时，当时求出点的坐标或
根据抛物线与轴有唯一公共点，得到，此时，过点作轴于点，交轴于点，设点，，，则，所以，，
根据，得到，直线解析式为，当时，即可证明直线过定点．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．