18.2 特殊的平行四边形练习题

这是一份18.2 特殊的平行四边形练习题，共50页。试卷主要包含了 矩形， 菱形，正方形，8，等内容，欢迎下载使用。
18.2 特殊的平行四边形
知识回顾：
1. 矩形
（1）矩形定义∶______________叫作矩形，也就是长方形.
（2）矩形的性质如下∶
①矩形的四个角都是________. ②矩形的对角线________.
（3）矩形的判定定理如下∶
①有一个角是直角的________是矩形.
②有三个角是________的四边形是矩形.
③对角线________的平行四边形是矩形.
④对角线______________的四边形是矩形.
2. 菱形
（1）菱形定义∶______________叫作菱形.
（2）菱形的性质如下∶
①菱形的四条边都________.
②菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分________.
（3）菱形是特殊的平行四边形，其面积求法与平行四边形的面积求法相同，其面积等于底乘以相应底上的高．另外，由于菱形的两条对角线互相垂直平分，将菱形分成4个全等的直角三角形，因此菱形面积=×两条对角线长之积=×两条对角线长之积.
（4）菱形的判定定理如下∶
①________的平行四边形是菱形.
②对角线________的平行四边形是菱形.
③对角线________的四边形是菱形.
④________的四边形是菱形.
3.正方形
（1）正方形定义∶______________是正方形.
（2）正方形的性质∶正方形既有________的性质，又有________的性质.
（3）正方形是轴对称图形，其对称轴为________所在的直线或________所在的直线，有4条对称轴；也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点.

（4）正方形的判定定理如下∶
①________的矩形是正方形.
②有一个角是直角的________是正方形.
③________相等的菱形是正方形.
④对角线________的矩形是正方形.
⑤判别正方形的一般顺序∶先说明它是平行四边形∶再说明它是菱形（或矩形）；最后说明它是矩形（或萎形）.
⑥矩形判定条件＋菱形判定条件一正方形判定条件.


一、单选题（共24题）
1．下列命题正确的是（　　）
A．四条边都相等的四边形为矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形为正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形为平行四边形
2．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A和D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB＝AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（       ）

A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形 B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
C．平行四边形—矩形—菱形—矩形 D．平行四边形—菱形—平行四边形
4．如图，等边△ABC与正方形DEFG重，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AB=6，DE=2，则△EFC的面积为（ ）


A．1 B．2 C．2 D．4
5．下列命题中正确的有（       ）个
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等且对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形：（4）一个角是直角的平行四边形是矩形：（5）有一组邻边相等的四边形是菱形：（6）四个角相等的四边形是矩形
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（       ）

A．AB⊥DC B． C．AC⊥BD D．AB=DC
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）

A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，，E是BD的中点，BD=8，则的面积为（       ）．

A．82 B．16 C．8 D．162
9．如图，在平行四边行ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（       ）

①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF=2，，给出下列结论：①∠COD=45°；②AE=6；③CF=BD=17；④△COF的面积是32．其中正确的结论为（       ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④
11．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为ℎ1、ℎ2、ℎ3ℎ1>0,ℎ2>0,ℎ3>0，若ℎ1=5，ℎ2=2，则正方形ABCD的面积S等于（       ）

A．34 B．89 C．74 D．109
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（          ）

A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A'处，若A'D=2，则B'E的长度为（       ）


A．2714 B．137 C．2514 D．2
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：
①DF=DN；②；③△DMN是等腰三角形；④S△AND+SΛAME=S△ANC−S△AME，其中正确的个数是（            ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，点G、F分别在DC、AB上，FG⊥AE，∠BAE=25°，则∠FGD的度数为（       ）

A．75° B．65° C．125° D．115°









16．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AEAD=2−1；③四边形AEFG是菱形；④若SΔOGF=1，则正方形ABCD面积是6+42．其中正确的结论个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则的长是（       ）

A．1 B．2 C． D．2
18．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE=AD；②∠AED=∠CED；③BH=HF；④BC−CF=2HE，其中正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD上的点，DE=1，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≅△AFG；②∠GAE=45°；③3BG=5CG；④S△CFG=14485．其中正确的有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

20．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点．在下列结论中：①AH=DF；②∠AEF=45°；③AH=DE；④S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（       ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE//CD于点E，PF//BC于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD=2EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为22.其中正确结论的序号为(          )

A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤
22．如图，矩形ABCD中，AC,BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN,EM．则下列结论：
①DN=BM；②EM//FN；
③；④当AO=AD时，四边形是菱形．
其中，正确结论的个数是（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个






23．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为(        )

A．1 B．103 C．4 D．143
24．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足SΔPCD=16S菱形ABCD，则PC+PD的最小值为（       ）



A．32 B．211 C．6 D．73

二、填空题（共10题）
25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=7，S菱形ABCD＝56．则OH的长为 _____．

26．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，延长BC至点E，使CE=3，连接DE得到四边形ABED，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC一CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒（t>0）时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，则t=____

27．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于______．

28．如图，菱形ABCD中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形ABCD的各边中点，若AC=6，BD=8，则四边形 的面积为______．

29．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， P 为 BD 上的一点，连接 CP，过点 P 作 PF ⊥ CP 交AD 的延长线于点 F，延长 FP 交 AB 于点 E，则下列结论：（1）∠DPF = ∠PCA；（2）BE = DF；（3）点 P 为 EF 的中点；（4） SΔBPE= SΔDCP；（5）若 OP = 2，则 BE = 22， 其中正确的结论有_______个．（填正确结论的个数）

30．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．



31．已知：如图，△ABC的两条高AD与CE相交于点F，G为BC上一点，连接AG交CE于点H，且AB=AG，若∠CHG=2∠ADE，DFAF=23，S△ACG=152，则线段AD的长为_______．

32．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．

33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______．

34．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE．当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．








三、解答题（共5题）
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CF∥AB，交AE的延长线于点F，连接BF．

(1)求证：四边形BDCF是菱形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形？请说明理由．



36．矩形ABCD的边长AB＝18cm，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在CD边的点F处，∠BAE＝30°．

(1)如图1，求DF的长度；
(2)如图2，点N从点F出发沿FD以每秒1cm的速度向点D运动，同时点P从点A出发沿AF以每秒2cm的速度向点F运动，运动时间为t秒（0＜t＜9），过点P作PM⊥AD，于点M．
①请证明在N、P运动的过程中，四边形FNMP是平行四边形；
②连接NP，当t为何值时，△MNP为直角三角形？










37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t（s）．

(1)如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．



38．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，

(1)观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝22，CD=1，请求出GE的长









39．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴，y轴的正半轴，若点B（a，b），且a，b满足b2−12b+36=0，若点D为矩形OABC的对角线AC的中点，过点D作AC的垂线分别交BC，OA于点E，F．

(1)求点B的坐标．
(2)求线段EF的长度．
(3)如图2，连接OD，直线EF交y轴于点G，若点P为射线GE上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以OD为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．





























参考答案：

知识回顾：
1. 矩形
（1）矩形定义∶有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形.
（2）矩形的性质如下∶
①矩形的四个角都是直角. ②矩形的对角线相等.
（3）矩形的判定定理如下∶
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②有三个角是直角的四边形是矩形.
③对角线相等的平行四边形是矩形.
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
2. 菱形
（1）菱形定义∶有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
（2）菱形的性质如下∶
①菱形的四条边都相等.
②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
（3）菱形是特殊的平行四边形，其面积求法与平行四边形的面积求法相同，其面积等于底乘以相应底上的高．另外，由于菱形的两条对角线互相垂直平分，将菱形分成4个全等的直角三角形，因此菱形面积=×两条对角线长之积=×两条对角线长之积.
（4）菱形的判定定理如下∶
①一组邻边相等的平行四边形是菱形.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
④四边都相等的四边形是菱形.

3.正方形
（1）正方形定义∶四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.
（2）正方形的性质∶正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
（3）正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，有4条对称轴；也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点.
（4）正方形的判定定理如下∶
①一组邻边相等的矩形是正方形.
②有一个角是直角的菱形是正方形.
③对角线相等的菱形是正方形.
④对角线互相垂直的矩形是正方形.
⑤判别正方形的一般顺序∶先说明它是平行四边形∶再说明它是菱形（或矩形）；最后说明它是矩形（或萎形）.
⑥矩形判定条件＋菱形判定条件一正方形判定条件.


1．B
解：A、四条边都相等的四边形为菱形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项正确；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形为正方形，所以C选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以D选项错误．
故选：B．
2．C

解：∵AD是ΔABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
根据折叠可得：EF是AD的垂直平分线，
∴AO=DO=12AD，AD⊥EF，
∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF//BC，
∴∠AEF=∠B，∠FED=∠EDB，
又∵∠AEF=∠FED，
，
∴BE=ED，
则，
同理可得：AF=FC，
∴EF是ΔABC的中位线，
故①正确；
∵EF是ΔABC的中位线，
的周长是ΔABC的一半，
根据折叠可得ΔAEF≅ΔDEF，
的周长等于ΔABC周长的一半，
故②正确；
∵EF是ΔABC的中位线，
，AF=12AC，
若四边形AEDF是菱形，
则，
∴AB=AC，
故③正确；
根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，
不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；
故选：C．

3．B
解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化依次为：
平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
故选：B．
4．B
解：过F作FQ⊥BC于Q，

则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF=12EF=1，
∴△EFC的面积＝12×CE×FQ=12×4×1=2，
故选：B．
5．C
解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，（1）正确；
两组对角分别相等且对角线相等的四边形是矩形，（2）正确；
对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，（3）正确；
一个角是直角的平行四边形是矩形，（4）正确；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，（5）错误；
四个角相等的四边形是矩形，（6）正确，
故选：C．
6．A
解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF//AB，且EF=12AB，GH//AB且GH=12AB，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，即，
∵EF//AB，HE//CD，
∴AB⊥CD，
故选：A．
7．D
解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=62+82=10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM=12AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=AB×ACBC=4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当PM最短时，PM=12AP=2.4．
故选 D．
8．C
解：∵∠BAD=∠BCD=90∘，E是BD的中点，BD=8，
∴AE=BE=DE=CE=4，
∴∠BAE=∠ABE，∠CBE=∠BCE，
∵∠ABE+∠CBE=，
∴∠AEC=∠BAE+∠ABE+∠CBE+∠BCE=90°，
∴SΔAEC=12AE⋅CE=12×4×4=8,
故选：C．
9．D
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=12∠BCD，故结论①正确，
延长EF，交CD的延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴ ∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM
∴△AEF≌△DMF，
∴FE=FM，∠AEF=∠M，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF, ∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正确，
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△ECM>S△BEC，
∵S△ECM =S△EFC +S△CFM ，S△EFC=S△CFM，
∴S△BEC