18.1 平行四边形练习题

这是一份18.1 平行四边形练习题，共47页。试卷主要包含了平行四边形的定义、性质及判定，三角形的中位线，拓展补充，8；，6．等内容，欢迎下载使用。
18.1 平行四边形
知识回顾：
1.平行四边形的定义、性质及判定：
定义
有__________ 的四边形叫作平行四边形,平行四边形用“”表示,
性质
边
平行四边形的对边__________ .
角
平行四边形的对角__________ ,
对角线
平行四边形的对角线__________ ,
判定
边
(1)两组对边__________的四边形是平行四边形,
(2)一组对边__________的四边形是平行四边形
(3)两组对边__________的四边形是平行四边形。
角
两组对角__________的四边形是平行四边形
对角线
对角线__________的四边形是平行四边形,

2.三角形的中位线
三角形的中位线定义
连接三角形__________的线段叫作三角形的中位线；
三角形中位线定理
三角形的中位线__________三角形的第三边,且__________第三边的一半；
三角形中位线定理的作用
已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍数关系；
注意
中位线不是中线；

3.拓展补充：
⑴梯形中位线
①EF∥BC ②EF=BC

略证：连AF并延长交BC延长线于点G，可证：
△AFD≌△GCF（AAS），
则有EF为△ABG的中位线，AD=BG;
∴ EF∥BC，EF=BG=（AD+BC）.
⑵梯形中“蝴蝶模型”
①S2=S4 ②S1:S2=a:b ③S4:S3=a:b

略证：如图作高h1、h2、h.


一．选择题（共15小题）
1．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH 2+BG 2＝AG 2．其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（　　）

A．﹣1 B．2﹣1 C．6﹣6 D．4﹣2
3．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AG⊥BC于G，作AH⊥CD于H，且∠GAH＝45°，AG＝2，AH＝3，则平行四边形的面积是（　　）

A． B． C．6 D．12
5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD，AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC
6．如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．10
7．如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（　　）

A．+n B．m+ C． D．
9．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9
10．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为（　　）

A．29 B．26 C．24 D．25
11．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
12．如图，▱ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
14．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　　）

A．4次 B．3次 C．2次 D．1次

15．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．8 C．20 D．24
二．填空题（共17小题）
16．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为　 　．

17．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　 　．

18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE．若DM＝2，则DE的长为　 　．

19．如图，E是▱ABCD边BC上一点，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝　 　°．

20．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有　 　．

21．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．

22．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　 　．

23．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是　 　．

24．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为　 　．

25．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；
②△ADE是等腰三角形；
③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；
④∠DAE＝25°．
其中正确的结论是　 　．（填正确结论的序号）


26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是　 　．

27．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．

28．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是　 　．

29．在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC 2+BD 2的值为　 　．

30．▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为　 　．

31．已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝，AC＝3，DE＝4，则平行四边形AB边上的高＝　 　．
32．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则平行四边形ABCD周长等于　 　．
三．解答题（共8小题）
33．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．

34．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．

35．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．


36．如图，在▱ABCD中，F是BC的中点，连接AF并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是平行四边形．

37．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．

38．如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．
（1）试说明：FG＝（AB+BC+AC）；
（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．
则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．


39．如图所示，在▱ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN＝AD．

40．已知如图所示，D，E分别为AB，BC的中点，CD＝AB，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B．求证：CF＝DE．



















参考答案：
知识回顾：
1.平行四边形的定义、性质及判定：
定义
有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形,平行四边形用“”表示,
性质
边
平行四边形的对边平行相等.
角
平行四边形的对角相等,
对角线
平行四边形的对角线互相平分,
判定
边
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形,

2.三角形的中位线
三角形的中位线定义
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线；
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半；
三角形中位线定理的作用
已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍数关系；
注意
中位线不是中线；

一．选择题（共15小题）
1．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（　C　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD；依据勾股定理即可得到BH2+BG2＝AG2．
解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∵H不是DE的中点，
∴BE＝DE≠2EC，故①错误；
∵AB＝CD，BH＝CD，
∴AB＝BH，故③正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∵AB＝BH，
∴BH 2+BG 2＝AG 2，故⑤正确．
∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．
故选：C．

2．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（　B　）

A．﹣1 B．2﹣1 C．6﹣6 D．4﹣2
解：作CN⊥AD于点N，作EM⊥AD于点M，则CE＝MN，

∵S▱ABCD＝12，BC＝6，
∴EM＝CN＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝135°，
∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D，AD＝BC＝6，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠CND＝90°，
∴∠D＝∠DCN＝45°，
∴DN＝CN＝2，
∵EM⊥AD，∠EFD＝30°，
∴EF＝2EM=4,FM=
∵AD＝6，AF＝CE，CE＝MN，
∴AF+FM+MN+DN＝AD＝6，
∴AF+2+MN+2＝6，
∴2AF＝4﹣2，
∴AF＝2﹣1，
故选：B．

3．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（　C　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AG⊥BC于G，作AH⊥CD于H，且∠GAH＝45°，AG＝2，AH＝3，则平行四边形的面积是（　A　）

A． B． C．6 D．12
解：∵AG⊥BC于G，AH⊥CD于H且∠GAH＝45°，
∴四边形AGCH中，∠C＝135°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
又∵∠AGB＝90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AB＝AG＝2，
又∵AH⊥CD，AH＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB×AH＝6，
故选：A．
5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　D　）

A．AB＝CD，AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC
解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（　C　）

A．6 B．7 C．8 D．10
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
解：∵▱ABCD的周长为20，
∴2（BC+CD）＝20，则BC+CD＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，
∴OD＝OB＝BD＝3．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝5+3＝8，
即△DOE的周长为8．
故选：C．
7．如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（　C　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可．
解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，

∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG＝AC，GE＝CE，
同理可得，AB＝AH，BD＝HD，
∵BF＝CF，BD＝HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF＝CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，
∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴∠IGE=90°， ∴GI∥ED，GE∥ID
∴四边形GIDE是平行四边形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；
故选：C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（　D　）

A．+n B．m+ C． D．
利用平行四边形的性质和已知条件证明△NAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长．
解：∵N为CD中点，
∴CN＝DN＝CD＝AB＝BC＝AD，
∴∠DAN＝∠DNA，∠CBN＝∠CNB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DNA，∠D＝2∠CNB，
∴∠DNA+∠CNB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠ANB＝180°﹣（∠DNA+∠CNB）＝90°
即△NAB为直角三角形，
∵BN＝m，AN＝n，
∴CD＝AB＝＝．
故选：D．
考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用，综合性较强．
9．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　A　）

A．12 B．11 C．10 D．9
解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：A．

10．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为（　B　）

A．29 B．26 C．24 D．25
由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．
解：如图，连接AD、EF，


则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴BC＝AD＝20，EF×AD＝×120，
∴EF＝6，
又BC＝20，
∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6＝26，
故选：B．
11．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　D　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
12．如图，▱ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（　D　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
解：∵DB＝DC，∠C＝70°
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故选：D．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　B　）

A．10 B．12 C．14 D．16
解：如图，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴Rt△ACF中，EF＝AC＝＝5，
∴DE＝1+5＝6；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝12，
故选：B．
考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
14．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　B　）

A．4次 B．3次 C．2次 D．1次
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC＝AD＝12，AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1＝12s，
∴Q运动的路程为12×4＝48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次．
第一次PD＝QB时，12﹣t＝12﹣4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
第二次PD＝QB时，Q从B到C的过程中，12﹣t＝4t﹣12，解得t＝4.8；
第三次PD＝QB时，Q运动一个来回后从C到B，12﹣t＝36﹣4t，解得t＝8；
第四次PD＝QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12﹣t＝4t﹣36，解得t＝9.6．
∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故选：B．
15．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（　C　）

A．6 B．8 C．20 D．24
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝3，AD＝2DE＝6，
在△BAE和△FDE中，
，
∴△BAE≌△FDE（AAS），
∴AB＝DF＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20．
故选：C．
二．填空题（共17小题）
16．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为　15　．



解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝8，
同理DE＝DC＝8，
∵EF＝1，
∴AE＝AF﹣EF＝8﹣1＝7，
∴AD＝AE+DE＝7+8＝15，
故答案为15．
17．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　4　．

解：如图，延长AE，BC交于点G，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE．若DM＝2，则DE的长为　　．

解：∵点F为边DC的中点，
∴DF＝CF＝CD＝AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠ECF，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF，
∵CD∥AB，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
又∵AF平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴∠ADN+∠DAN＝90°，
∴AF⊥DM，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
又∵DC∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF＝3，
同理可得，AM＝AD＝3，
又∵AN平分∠BAD，
∴DN＝MN＝1，
∴Rt△ADN中，AN＝＝＝2，
∴AF＝2AN＝4，EF＝4，
∴NE＝6，
∴Rt△DEN中，DE＝＝＝．
故答案为：．
考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定AF⊥DM，利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
19．如图，E是▱ABCD边BC上一点，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝　65　°．


解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠F＝∠BAE＝50°，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝65°，
∴∠D＝∠B＝65°．
故答案是：65．
20．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有　①②③　．

解：连接EC，作CH⊥EF于H．

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CH＝，EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，
故③正确，
∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，
∴CD＝2BD，AF＝2CF，
∵S△ABD＝×1×＝，
∴S△AEF＝•S△AEC＝•S△ABD＝，
故④错误，
∴①②③都正确，
故答案为：①②③．
考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
21．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　2　．

解：连接DN、DB，如图所示：

在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．

22．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　S1＝S2　．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
23．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是　14　．

解：过A作AH⊥AD于点H .

∴BH=AB=3
则AH=＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．
∵四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，AF平分∠ADC，∠B=60°
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=∠CDF=30°，
∠DAE＝∠BAE＝∠AEB=∠B=60°，
∴∠AGD=∠FGE=90°
∴BE＝AE=AB＝6，CD=CF=6
∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，
∵AG=AD=4,GE=EF=2
∴DG=，GF=

∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．
故答案是：14．

24．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为　（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）　．

解：如图所示：
∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），
∴三种情况：
①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；
②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，﹣2）；
③当OA为对角线时，点C的坐标为（﹣1，2）；
故答案为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．


25．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；
②△ADE是等腰三角形；
③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；
④∠DAE＝25°．
其中正确的结论是　①②④　．（填正确结论的序号）


解：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形，
∴AB＝CD，CD＝EF，AB∥CD，CD∥EF，
∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形；故①正确；
∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，
∴AD＝BC＝（平行四边形ABCD的周长﹣AB﹣CD），CF＝DE＝（平行四边形的周长﹣CD﹣EF），
∴AD＝BC＝CF＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；故②正确；
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵∠CFE＝110°，
∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等；故③错误；
∵∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，
∴∠ADC＝120°，∠CDE＝110°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝25°，故④正确；
故答案为：①②④．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是　5　．

解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝2.5，
∴ED＝2OD＝5；
故答案为：5．
27．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　3　．

解：∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
28．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是　11　．

解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．
故答案为：11．
29．在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为　82　．

解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，

设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，
则
AC2+BD2
＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2
＝50+2x2+2y2
＝50+2×42
＝82．
故答案为：82．

30．▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为　12或4　．
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，得到AH＝EF，解直角三角形即可得到结论．
解：如图1，





∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，
过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则∠AHE=∠FEH=90°，
∴ AH∥FE
∴四边形AHEF是平行四边形，
∴AH＝EF，
∵∠B＝45°，AB＝6，
∴AH＝EF＝AB＝6，
∵∠CDE＝15°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF＝12；
如图2，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，
过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，
则四边形AHEF是平行四边形，∠AHB＝∠DFE＝90°，
∴AH＝EF，
∵∠B＝45°，AB＝6，
∴AH＝EF＝AB＝6，
∵∠CDE＝15°，
∴∠EDF＝60°，
∴∠FED＝30°，
∵EF＝6，
∴DE＝EF＝4；
综上所述，DE的长为12或4．
故答案为：12或4．
31．已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝，AC＝3，DE＝4，则平行四边形AB边上的高＝　　．
解：如图，设AC与DE相交于点O，连接EC，AC边高分别为h1和h2，AB边高为h.
在梯形AECD中，对角线AC和ED将梯形的面积分为S1、S2、S3、S4四部分.




∴＝＝，
∵AC＝3，DE＝4，
∴OA＝1，OE＝，
∵AE＝AB＝＝，
∴OA2+OE2＝AE2，
∴∠AOE＝90°，
∴AC⊥DE，
∵OD＝4﹣＝，
∴S△ADC＝AC•OD＝4，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ADC＝8，
∵AB＝，
∴平行四边形AB边上的高＝8÷＝．
故答案为：．
32．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则平行四边形ABCD周长等于　20或12　．
解：①如图1所示：

∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，
BE＝＝3，
∴AD＝BC＝5，
∴▱ABCD的周长等于：20，

②如图2所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，
BE＝＝3，
∴BC＝3﹣2＝1，
∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5＝12，
则▱ABCD的周长等于20或12，
故答案为：20或12．
三．解答题（共8小题）
33．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．

（1）由平行四边形的性质及点G，H分别是AB，CD的中点，得出△AGE和△CHF全等的条件，从而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE＝HF，GE∥HF，则可得出结论．
（2）由平行四边形的性质及BD＝10，得出OB＝OD＝5，再根据AE＝CF、AE+CF＝EF及OA＝OC得出AE＝OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝2.5．
∴EG的长为2.5．
34．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．

取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对等边即可证得．
解：取BC边的中点M，连接EM，FM，

∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．

35．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE ≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵，
∴△BCE ≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
由（1）知：△BCE ≌ △ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
∴＝＝2．
36．如图，在▱ABCD中，F是BC的中点，连接AF并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CEF，∠B＝∠ECF，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
∴在△ABF与ECF中，，
∴△ABF≌ECF（AAS），
∴AF＝EF，
∴四边形ABEC是平行四边形；
37．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．

解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，
∴∠PAO＝∠QCO，
在△APO和△CQO中

∴△APO ≌ △CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝2.5cm，
∵BC＝5cm，
∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，
即AP＝BQ，AP∥BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；

（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，
∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，
∴3×4＝5×AM，
∴AM＝2.4（cm），
∵ON⊥BC，AM⊥BC，
∴AM∥ON，
∵AO＝OC，
∴MN＝CN，
∴ON＝AM＝1.2cm，
∵在△BAC和△DCA中

∴△BAC ≌ △DCA（SSS），
∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，
∵AO＝OC，
∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，
当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，
∴△OQC的面积为1.2cm×4cm＝2.4cm2，
∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．
考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
38．如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．
（1）试说明：FG＝（AB+BC+AC）；
（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．
则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．

解：（1）证明：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
∴MB＝AB，
∴AF＝MF，
同理可说明：CN＝AC，AG＝NG
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN＝（MB+BC+CN）＝（AB+BC+AC）

①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，

由（1）中可知，MB＝AB，AF＝MF，CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN＝（BM+CN﹣BC）＝（AB+AC﹣BC），

②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，

同样由（1）中可知，MB＝AB，AF＝MF，CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN＝（CN+BC﹣BM）＝（AC+BC﹣AB），
解答正确一种即可

39．如图所示，在▱ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN＝AD．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD．
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．
又∵M，N分别为▱ABEF和▱ECDF对角线的交点，
∴M为AE的中点，N为DE的中点．
即MN为△AED的中位线．
∴MN∥AD且MN＝AD．

40．已知如图所示，D，E分别为AB，BC的中点，CD＝AB，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B．求证：CF＝DE．

证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC．
又∵CD＝AB＝DB，
∴∠B＝∠BCD．
∵∠FEC＝∠B，
∴∠FEC＝∠BCD．
∴EF∥DC．
∴四边形DCFE是平行四边形．
∴CF＝DE．