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2022年内蒙古赤峰市松山区高考数学三模试卷（理科）（含答案解析）

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这是一份2022年内蒙古赤峰市松山区高考数学三模试卷（理科）（含答案解析），共20页。

2022年内蒙古赤峰市松山区高考数学三模试卷（理科）

已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

若复数z满足，则

A.
B. 是纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则

下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是

A. B. C. D.

若x，y满足约束条件，则的最小值为

A. B. C. 0 D. 2

直线l：的倾斜角为，则的值为

A. B. C. D.

我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为

A. B. C. D.

甲乙两名学生，六次数学测验成绩百分制如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是

A. ③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①③④

从某个角度观察篮球如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为

A. B. C. D.

下列函数中，最小值为9的是

A. B.
C. D.

椭圆C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8；
②椭圆C上存在点P，使得；
③椭圆C的离心率为；
④P为椭圆一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为
则以下选项正确的是

A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④

已知函数，若，，，则有

A. B.
C. D.

若干个正方体形状的积木按下图所示摆成塔型：上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上，如果所有正方体能直接看到的表面积超过，则正方体的个数至少是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同，从中任意取4个汤圆，则每中汤圆都至少取到一个的概率为______.
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为______.

如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进60m到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼AB的高度是______.

数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于抽象的概念、公式、符号、推理论证、思维方法等之中，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线C围成的图形的面积是；
②曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线C上任意一点，则的最小值是
其中正确的有______填上所有正确结论的序号
已知数列满足，且，，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前20项和．
两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图引体向上个数只记整数体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．
第一小组决定从单次完成个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取22人进行全面的休能体能测试．
①在单次完成个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的列联表．

	学业优秀	学业不优秀	总计
体育成绩不优秀	200	400	600
体育成绩优秀	100	100	200
总计	300	500	800

请你根据列联表判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量，其中
下面的临界值表供参考：

如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，
试在棱PC上找一点E满足：；
若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．

已知抛物线C：的准线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点其中在抛物线C上，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于
求直线l斜率的取值范围；
设O为原点，若，求证：为定值．
已知函数，
证明：当时，；
试讨论函数在上的零点个数．
在直角坐标系xOy中，曲线：为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：
求的普通方程和的直角坐标方程；
若曲线与交于A，B两点，A，B的中点为M，点，求的值．

已知函数
当时，求不等式的解集；
当不等式的解集为R时，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合的所有非空真子集可以分为二类，
集合的子集中有且只有一个元素，
分别为，，，
集合的子集中有且只有两个元素，
分别为，，，
则，，
故，
故选：
由题意知集合的所有非空真子集可以分为二类，从而求和知，即可解得．
本题考查了集合的子集的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用，属于基础题．

2.【答案】D

【解析】解：，
，
对于A，，故A错误，
对于B，非纯虚数，故B错误，
对于C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C错误，
对于D，复数z在复平面内对应的点在角的终边上，
则，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．

3.【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
根据题意，依次分析函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，，
既是奇函数又在定义域内递增，符合题意；
对于B，，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，是奇函数但在其定义域上不是增函数，不符合题意；
对于D，，不是奇函数，不符合题意；
故选

4.【答案】A

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．

5.【答案】D

【解析】解：直线l：的倾斜角为，
，

故选：
根据倾斜角和斜率的关系可求，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了倾斜角和斜率的关系，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

6.【答案】C

【解析】解：因为，
所以，即，
因为，即，
所以
故选：
由已知结合正弦定理进行化简可求ac，进而可求，代入已知三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理在三角形面积求解中的应用，属于基础题．

7.【答案】A

【解析】解：根据茎叶图数据知，
①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是，
甲的中位数小于乙的中位数；
②甲同学的平均分是，
乙同学的平均分是，
乙的平均分高；
③甲同学的平均分是乙同学的平均分是，
甲比乙同学低；
④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．
正确的说法是③④．
故选：
由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．
本题考查了利用茎叶图分析数据的平均数，中位数和方差的问题，是基础题．

8.【答案】D

【解析】解：设双曲线的方程为，则
因为，所以，所以
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，
解得
所以双曲线的离心率为
故选：
设出双曲线方程，通过坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，推出点在双曲线上，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的标准方程与性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

9.【答案】B

【解析】解：A：，当且仅当，即时取等号，A错误；
B：因为，
当且仅当即，时取等号，B正确；
C：当时，C显然不满足题意；
D：当时，，D显然不满足题意．
故选：
由已知结合基本不等式及函数的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

10.【答案】C

【解析】解：由题设，椭圆参数为，且、，
①由椭圆定义知：，则的周长为8，正确；
②当P在y轴上时，，而，
此时，易知为，
故，存在点P使得，正确；
③椭圆C的离心率为，错误；
④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，
而圆在x轴上的交点为，所以，
故P，Q的最大距离为3，正确．
故选：
根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③，根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断P，Q的距离范围，即可判断④．
本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中的最值与范围问题，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题．

11.【答案】B

【解析】解：在上是增函数，且时，，时，，
，，，，，，
，

故选：
根据的解析式即可判断在上是增函数，并且时，，时，，并且可判断，从而可得出，和的大小关系．
本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

12.【答案】C

【解析】

【分析】上面的正方体的棱长是下面棱长的，故所有正方体能直接看到的表面积的比是，从而可求前n个正方体能直接看到的表面积和，可求解．
本题考查归纳推理，以及等比数列前n项和公式的应用，属中档题．
【解答】
解：从上方垂直向下往桌面看，最下面的正方体的棱长为1，
上面的正方体的棱长是下面棱长的，故所有正方体表面积的比是，
所以前n个正方体能直接看到的表面积和，
于是可得，解得
故选：

13.【答案】

【解析】解：因为总的取法种种，
而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，
第一类有种，
第二类有种，
第二类有种，
根据分类计数原理得种，
故每中汤圆都至少取到一个的概率为，
故答案为：
本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的取法种类，再计算满足条件“从中任意取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．
古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．

14.【答案】

【解析】解：由三视图可得如下几何体：，且、、、均为直角三角形，

所以多面体的外接球的球心为BD中点，而，
则外接球半径为，表面积为
故答案为：
由三视图还原几何体，根据三棱锥的特征确定其外接球的球心，进而求半径，即可得外接球的表面积．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．

15.【答案】30m

【解析】解：设，，
中，，所以，
中，，所以，
中，，，
由余弦定理得：，
即，
整理得，
解得或不合题意，舍去，
所以钟楼AB的高度是
故答案为：
设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理列方程求出x的值．
本题考查了解三角形的应用问题，解题的关键是弄清三角形中边角关系，是基础题．

16.【答案】①③

【解析】解：对于曲线C，在曲线C上任取一点，则该点关于x轴的对称点为，
因为，即点在曲线C上，所以，曲线C关于x轴对称，
同理可知，曲线C关于y轴．原点对称，
当，时，曲线C的方程为，即，
作出曲线C的图象如下图所示：

由图可知，曲线C围成的区域是四个半径为的半圆和一个边长为的正方形，
故曲线C围成的图形的面积是，①对；
过原点O且连接两个半圆圆心M、N的直线交曲线C于D、E两点，如下图所示：

则，
所以，，②错；
点P到直线的距离为，则，
由图可知，过曲线C在第一象限内的半圆的圆心作直线的垂线，垂足为点B，

当点P为线段AB与曲线C在第一象限内的半圆的交点时，d取最小值，
点到直线的距离为，
所以，，因此，的最小值为，③对．
故答案为：①③．
作出曲线C的图象，可判断①的正误；过原点O且连接两个半圆圆心的直线交曲线C于D，E两点，求出，可判断②；求出点P到直线的最小距离，可判断③的正误．
本题考查了曲线与方程的综合应用，属于中档题．

17.【答案】解：依题意：数列满足，且
所以，；，；，，
所以，，
由，两式相加得，
所以数列，也即数列是首项为3，公差为4的等差数列，
所以；
数列的前10项和为，
也即，
由于，，
所以，
所以的前20项和为

【解析】根据递推关系求得，，判断出数列是等差数列，由此求得，也即的通项公式；
利用分组求和法求得的前20项和．
本题考查了数列递推式和分组求和，属于中档题．

18.【答案】解：①单次完成个引体向上的人有人，
单次完成个引体向上的人有人，
单次完成个引体向上的人有人，
单次完成个的引体向上的男生共440人，
按照分层抽样抽取22人，则有，
所以，，，
即从中选4人，个中选6人，个中选12人，
又因为单次完成个引体向上的人共有120人，
记“单次完成个引体向上的学生中甲同学被抽中”为事件A，
则；
②X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P

所以；
因为，
所以有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．

【解析】①求出从中选4个，个中选6个，个中选6个，单次完成个引体向上的人共有120人，然后利用古典概型的概率公式求解，
②X的所有可能取值有0、1、2，3分别求出相应的概率，从而可求出X的分布列和数学期望，
利用求出，然后与临界值比较即可．
本题考查了古典概率的概率计算，离散型随机变量的分布列与期望以及独立性检验的知识，属于中档题．

19.【答案】点E为PC的中点，理由如下：
由于，故，
将三棱锥补形为如图所示的正方体，

取AC的中点H，由三角形中位线的性质可知，则平面ABCD，
很明显，由射影定理可知
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

设，则，
据此可得，，，
即，据此可得，
由于，故，
解得，即，
设平面ABF的法向量为，
则，
据此可得，
很明显平面ABP的一个法向量为，
设二面角的平面角为，很明显为锐角，
则

【解析】将图形补行为正方体，首先说明点E的位置，然后利用射影定理证明即可；
建立空间直角坐标系，求得点F的坐标，然后求得两个半平面的法向量，最后计算二面角的余弦值即可．
本题主要考查空间中的垂直关系，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．

20.【答案】解：抛物线C：的准线经过点，
，，
抛物线的方程为，
点，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
联立方程，消去y得，
依题意得，，
解得或，
又直线PA，PB与y轴相交，
直线l不过点，从而，
直线l的斜率的取值范围是
证明：设，，
由知，，
易求直线PA的方程为，
令得点M的纵坐标为，
同理可得，点N的纵坐标为，
由可得，，
，
即为定值

【解析】先根据题意求出抛物线方程，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用，结合直线l不过点，即可求出直线l斜率的取值范围．
设，，由知，，求出直线PA，PB的方程，进而求出点M，N的坐标，根据可得，，代入化简整理，即可证得为定值．
本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，是中档题．

21.【答案】解：证明：，
则，，
，，
在单调递增，且，，
在单调递增，；
，
①时，，，时唯一零点，
②时，，
设，则，，
在上单调递增，而，
，
在上单调递增，
，是唯一零点，
③时，，
在上单调递增，而，，
，使得，
当时，递减，时，递增，
，而，，
在上有唯一零点，又是一个零点，
在上有2个零点，
综上：当时，在上有1个零点，
当时，在上有2个零点．

【解析】求出函数的导数，根据导函数的单调性证明函数的单调性即可；
求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，求出函数的零点个数即可．
本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．

22.【答案】解：由：为参数，消去参数，
得
由，且，，得的直角坐标方程为；
将两圆与作差，
得直线AB的方程为：
点在直线AB上，设直线AB的参数方程为，
代入，得，
设A、B对应的参数分别为、，
，，
点M对应的参数为，

【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．
直接消去参数可得的普通方程；结合，得的直角坐标方程；
将两圆的方程作差可得直线AB的方程，写出AB的参数方程，与圆联立，化为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义及根与系数的关系求解．