专题07【精品】 对称、折叠问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题07 对称、折叠问题

对称，我们熟知的三大几何变换之一，几何题中往往都有它的身影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．本文从基本性质说起，到一些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．

一、从性质说起

关于对称的性质，大概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以

（1）对应角相等；

（2）对应边相等；

（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．

以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．

性质一：对应角相等

由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下1-3题：

1．（2019·江西）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则　　．

【分析】利用对称倒角即可．

∵∠BAD=∠ABC=40°，

∴∠ADC=80°，∠ADB=100°，

∴∠ADE=100°，

∴∠CDE=20°．

2．（2019·邵阳）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】根据对称前后的图形全等，对应角相等．

∵∠B=36°，∠BAC=90°，∴∠C=54°，

∵点D是BC中点，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=54°，

∵△ADF≌△ADC，∴∠DAF=∠DAC=54°，

∴∠EAF=，

又∠F=∠C=54°，∴∠AEF=108°，

∴∠BED=108°，故选B．

3．（2018·兰州）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，则为　　

A． B． C． D．

【分析】在对称前后图形中找相等角．

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

根据折叠可得∠ADB=∠FDB，∴∠DBF=∠FDB，

又∠DBF+∠FDB=∠CFD=40°，∴∠DBF=∠FDB=20°，

∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°，∴∠E=∠A=112°，

故选B．

对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角．4、5有关30°特殊角，6、7有关60°特殊角．

4．（2018·毕节市）如图，在矩形中，，是上的一点，将沿直线对折得到，若平分，则折痕的长为　　

A．3 B． C． D．6

【分析】找出图中隐藏的特殊角．

由题意可得：，

∵AD=3，∴，，

故选B．

5．（2019·辽阳）如图，直线是矩形的对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在线段与的交点处，，则线段的长是　　

A．8 B． C． D．10

【分析】根据图形位置的特殊性，寻找隐含条件．

根据点Q在EF上且∠BQP=90°，∴BA=BP，

∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°，

∵，∴PC=4，PB=8，

∴AB=8，故选A．

6．（2019·潍坊）如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则　　．

【分析】两次折叠可以得到更多相等．

由题意可得：，

∴，

∴．

7．（2018·遵义）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为　　．

【分析】等边翻折得到一线三等角．

由题意可得：，

易证△FGD∽△GEB，∴，

设FG=x，则AE=x，DF=8-x，

设GE=y，则AE=y，BE=8-y，

代入得：，解得：，

∴，

故BE的长为．

看似120°的角，实则另有构造．

8．（2019·黄冈）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是　　．

【分析】两点之间线段最短可以用来求最大值．

考虑到M是AB中点且∠CMD=120°，

∴作点A关于CM的对称点，作点B关于DM的对称点，

连接，易证是等边三角形，

∴，

，

∴当共线时，CD取到最大值14．

性质二、对应边相等

但凡涉及到对称，基本上都会用到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题目分类值得商榷，但此处只需强调一点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．

1．（2019·朝阳）如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，，若，则的长为　　．

【分析】多次折叠存在多组全等．

显然F、G分别是AB、BC中点，故FG是AC边的中位线，求AC长即可．

∵DE=2，∴，，

∴，

∴．

2．（2018·威海）如图，将矩形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，为折痕；点与边上的点重合，为折痕．已知，，，求的长．

【分析】根据对称的性质．

∵，∴，，

∵，∴，，

过点K作KP⊥BC交BC于P点，

设KP=x，则EP=x，，

∴，解得x=1，

故，，

∴，

故BC的长为．

3．（2019·杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　．

【分析】求矩形面积，考虑能否把矩形相邻两边都算出来．

两端往中间折叠，则可得：，

∵∠FPG=90°，∴，

易证∽，

考虑两三角形面积分别是4和1，所以相似比为2:1，

设AB=a，则，，，

∴，

表示面积：，解得a=2，

，又AB=2，

∴矩形ABCD面积为．

性质三：对称点连线被对称轴垂直且平分

连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函数，但终可求线段长．

1．（2018·襄阳）如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点．若，则的长为　　．

【分析】由对称可得AP⊥BD，易证△ABE∽△DAB，设AB=x，

由题意得：，代入得：，

∴，又矩形ABCD面积为，

∴，解得x=4，

∴AB=4，，

，

记AP与BD交点为H，则，

代入解得：，

∴．

2．（2018·青海）如图，把直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，将沿着斜边翻折后得到，则点的坐标是　　

A．， B．， C． D．，

【分析】显然连接OC，通过特殊角求得C点坐标．

连接OC交AB于点D，则OC⊥AB，

∴∠BOC=∠OAB=30°，

∵OB=2，∴，，

过点C作CH⊥y轴交y轴于H点，则，，

∴C点坐标为，

故选C．

3．（2019·淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则　　．

【分析】求tan∠HAP的值，构造包含∠HAP的直角三角形．

连接BP，∵HA=HP=HB，可证∠APB=90°，

由对称性质可知：BP⊥HC，

∴AP∥HC，∴∠HAP=∠BHC，

∵，

∴．

4．（2017·资阳）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿直线折叠，使点落在点处，则线段的长度是　　

A．1 B． C． D．

【分析】可以考虑构造包含CF的直角三角形．

连接DF，则DF⊥AE，垂足记为M，则M是DF中点，

又点E是DC中点，故ME是FC边中位线，∴DF⊥FC，

由，得：，

∴，

勾股定理得：，

故选C．

5．（2019·重庆）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为　　

A． B． C． D．

【分析】从中点处翻折，连接对称点．

连接，则⊥BD，垂足记为F，

由DA=DC=，可得，

∵，∴，DF=1，BF=2，BC=7，

点D到的距离等价于点D到BC的距离，考虑用等积法．

过点D作DH⊥BC交BC于H点，

则，代入解得：，

故选B．

【小结】以上3个题均是从中点处折叠，连接对称点，可得直角三角形．