专题06【精品】 构造旋转-托勒密定理的应用-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

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专题06 构造旋转-托勒密定理的应用一、方法突破1．托勒密定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则．2．证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴，即，当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴，即，∴，∴． 3．推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易证△ABE∽△ACD，∴，即①，连接DE，如图2，∵，∴，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴，即②，将①+②得：，∴即，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号． 4．托勒密定理在中考题中的应用（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：，又等边△ABC有AB=AC=BC，故有结论：．证明：在BD上取点E使得DE=DA，易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，利用对应边成比例，可得：．如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC．【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：，又，代入可得结论：． 如图4，当点 D在弧AC上时，根据托勒密定理：，又，代入可得结论：．（3）当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c，根据托勒密定理可得：二、典例精析1．（2019·仙桃）已知内接于，∠BAC的平分线交于点，连接，．（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式：　　；（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若，，求的值．2．（2019·威海）（1）方法选择如图①，四边形是的内接四边形，连接，，．求证：．小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接小军认为可用补短法证明：延长至点，使得请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形是的内接四边形，连接，，是的直径，．试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．（3）拓展猜想如图④，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　． 三、中考真题演练1.（2017·临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，，是四边形的对角线，若，则线段，，三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长到，使，连接，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明是等边三角形，故，所以．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将绕着点逆时针旋转，使与重合，从而容易证明是等边三角形，故，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
2.（2016·淮安中考）问题背景：如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②，易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．简单应用：（1）在图①中，若，，则　　．（2）如图③，是的直径，点、在上，，若，，求的长．拓展规律：（3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）（4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是　　．