专题17【精品】 动圆相切问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题17 动圆相切问题

一、圆心为动点

解题思路：确定圆心到直线的距离d=r即可．

【引例】如图，直线l的解析式为，点P坐标为，以点P为圆心，1为半径作圆，当点P以每秒2个单位的速度向右移动时，时间t为何值时圆P与直线l相切？

【分析】过点P作PH⊥直线l，垂足为H点，当PH=r=1时，即可得圆P与直线l相切．

当点P坐标为或时，PH=1，，，

综上所述，t的值为1或3．

1．     （2017·百色）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】确定两个相切的时刻，当时，直线与圆相切，故若直线与圆相交，则b的取值范围是，故选D．

2．     （2015·烟台）如图，直线与坐标轴交于，两点，点是轴上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与直线相切时，则的值为　　．

【分析】点M到直线l的距离为2，即可得圆M与直线l相切．

过点M作MH⊥AB交AB于H点，当圆M与直线l相切时，MH=r=2，

，∴BH=4，，

M点在B点左侧时，点M坐标为，

M点在B点右侧时，点M坐标为，

综上，M点坐标为或．

3．     （2019·菏泽）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是　　．

【分析】若圆P与AB相切，则点P到直线AB的距离为1，可得，

又点A坐标为，故点P坐标为或．

4．     （2016·无锡）如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了　　时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．

【分析】易证CD∥AB，当圆C与直线EF相切时，，，

，，∴，

5．     （2019·宁波）如图，Rt△ABC中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为　　．

【分析】当圆P与BC边相切时，过点P作PH⊥BC交BC，则PH=6，

易证△DHP∽△DCA，，解得：，∴．

当圆P与AB边相切时，过点P作PM⊥AB交AB于M点，则PM=6，

过点D作DN⊥AB交AB于点N，易证△BND∽△BCA，可得：，解得：，

易证△AMP∽△AND，，解得：．

综上，AP的长为或．

6．     如图，点的坐标是，点是以为直径的上一动点，点关于点的对称点为．当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值等于　　．

【分析】确定点P轨迹，考虑AP=2AC始终成立，可得点P轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆，若圆与直线相切，则半径等于点O到直线的距离，用面积法可求，故，则．

【动圆相切-与多边形相切】

（2018·宁波）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为　　．

【分析】圆不可能与AB、BC边相切．

当圆P与CD相切时，即PM=PC

如图所示，设BP=x，则，，

则，解得：x=3．

当圆P与AD相切时，即PM=r=8，

解得．

综上，BP的长为3或．

7．     （2015·连云港）已知如图：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，是直线上一动点，的半径为1．

（1）判断原点与的位置关系，并说明理由；

（2）当过点时，求被轴所截得的劣弧的长；

（3）当与轴相切时，求出切点的坐标．

【分析】

（1）过点O作OH⊥AB于点H，可得，∴，

故点O在圆外．

（2）记圆P与y轴另外一交点为C，连接PC，则∠BPC=120°，

则，故圆P被y轴截得的弧长为．

（3）圆P与x轴相切，即点P到x轴距离为1即可，，

当时，，解得：，

当时，，解得：，

故切点的坐标为或．

8．     （2016·苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发， 设它们的运动时间为t（单位：s）（）．

（1） 如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　   　；

（2） 如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3） 请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由 ．

【分析】

（1）由题意得：PB=4t，PQ=3t，BQ=5t，CQ=8-5t，

若DQ平分∠BDC，则CQ=PQ，即8-5t=3t，解得：t=1，

故t的值为1；

（2）过点M作MH⊥BC交BC边于点H，

若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，则H为CQ中点，

则，，

易证，代入得：，解得：，故t的值为．

（3）①由于点O与直线MQ均为运动的，可取对角线BD为参照物．

过点O作OE⊥BD交BD于点E，则OD=3t，，

又，∴，

∴点O始终在QM所在直线的左侧．

②过点O作FG⊥BD交BD于点F，则FG⊥MQ，垂足记为G，

若圆O与四边形相切，则，解得：，

即当s时，圆与QM相切，

此时若圆O与MP也相切，则MO平分∠PMQ，即，

，又，∴，，

∴，又OG=r=0.8cm，

∴，

∴此时PM与圆O不相切．

二、动点为直径

解题思路：由切线的性质-垂直于过切点的半径，得垂直关系，再由三角函数值求得线段长．

【引例】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接BD，点P从D点出发以每秒1个单位向点C运动，点Q从点B出发以每秒2个单位向点D运动，以PQ中点O为圆心，PQ为直径作圆，运动时间t为何值时，圆O与BD相切？

【分析】当PQ⊥BD时，圆O与BD相切，

由题意得：DP=t，DQ=5-2t，若PA⊥BD，即，

代入得：，解得：，

故当t的值为时，圆O与BD相切．

【与多边形边相切，三角函数解线段关系】

1．（2018·相城区一模）如图，在Rt△ABC中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点也从点出发，沿以每秒的速度匀速运动，运动时间为秒，连接，以为直径作．

（1）当时，求的面积；

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）当点在上运动时，与Rt△ABC的一边相切，求的值．

【分析】当时，cm，cm，∴cm²．

（2）当时，，

∴，，；

当时，

，，

∴

，

∴

（3）当点Q在AB上时，，

当圆O与BC边相切时，即PQ⊥BC，

，，，

代入得：， 解得：t=1；

当圆O与AB相切时，即PQ⊥AB，

，代入得：，解得：；

当圆O与AC边相切时，过点O作ON⊥AC交AC于点N，则，

，

，

由得：，

解得：，（舍）．

故综上所述，t的值为1或或．

三、交点个数的分析

圆与线段或图形交点个数问题，考虑交点个数变化的位置，当①圆与线段相切、②圆过线段端点时，交点个数会发生改变．

【引例】如图，在坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，3），以点P（m，0）（m<0）为圆心，4为半径作圆，m为何值时，圆P与线段AB只有1个交点？

【分析】

考虑圆P与AB相切：过点P作PH⊥AB，当PH=4时，圆P与AB相切，

易证△PHA∽△BOA，∴，此时；

当圆P过点A时，m=-3；

当圆P过点B时，，故；

综上，当或时，圆P与线段AB只有1个交点．

1．（2017·吴中区一模）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿着方向以1个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着对角线方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒，以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结、．

（1）填空：　 　（用的代数式表示）；

（2）当为何值时，点与点相遇？

（3）当线段与有两个公共点时，求的取值范围．

【分析】

（1）BE=2t，．

（2），若点Q与点F相遇，则AQ+BF=6，

即，解得：，

故t为时，点Q与点F相遇．

（3）考虑何时QE与圆P相切，即当QE⊥BD时，

，又，BE=2t，代入得：，

解得：．

从相切开始，至点Q与点F重合，有2个交点，

故t的取值范围是．

2．（2013·连云港）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、的坐标分别为、．动点从点、动点从点同时出发，分别沿着方向、方向均以1个单位长度秒的速度匀速运动，运动时间为（秒．以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接、．

（1）求当为何值时，点与点重合？

（2）设的面积为，试求与之间的函数关系式，并求的最大值；

（3）若与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．

【分析】

（1），，若点Q与点D重合，

则，即，解得：．

（2）当时，

，，

，

当时，

则，∴，

综上，．

当t=5时，S的最大值为15．

（3）1个交点：在CQ与圆P相切及之前，在Q、D相遇之后，

OQ=t，AC=2t，，，解得：，

故当或时，圆P与线段QC只有1个交点．

3．（2019·河北）如图1和2，中，，，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．

（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出与的位置关系；

（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；

（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

【分析】

（1），∴，

∴PC=12，PB=9，∴x的值为9时，点O落在AP上．

此时PE⊥BC，∵PE⊥AD，AD∥BC，∴可得PE⊥BC．

（2）过点C作CH⊥AP交AP于点H，设PH=x，

则，∵，∴，

∴，，

∴AH=3+12=15，∴AH=CH，

∴∠CAP=45°．

过点O作ON⊥AP交AP于点N，则，

易证△PNO∽△CHP，又PH=5，CH=12，∴CP=13，

∴，代入得：，解得：，

，

∵，∴弦AP长度大于弧PQ长度．

（3）．

当BP=18时，圆O与DA相切，当BP>18时，圆O与AD边只有一个交点A．

【与多边形交点个数问题】

4．（2018·镇江）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点．

（1）如图2，当与边相切于点时，求的长；

（2）不难发现，当与边相切时，与平行四边形的边有三个公共点，随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的的值的取值范围　　．

【分析】

（1）连接PF，则PF⊥CD，且PA=PF，设PA=x，则PF=x，PD=10-x，

，解得：，

∴AP的长为．

（2）从圆P与CD边相切开始，有4个交点，直到圆P与BC边相切于点M，

此时PM⊥BC，易求，∴．

之后交点个数大于4，直到如下图，圆P过点D，则过点C，且与BC边有1交点，

此时PA=PD=．

综上所述，公共点个数为4时， 或．

5．（2012·无锡）如图，菱形的边长为，．点从点出发，以的速度，沿向作匀速运动；与此同时，点也从点出发，以的速度，沿射线作匀速运动．当运动到点时，、都停止运动．设点运动的时间为．

（1）当异于、时，请说明；

（2）以为圆心、长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，为怎样的值时，与边分别有1个公共点和2个公共点？

【分析】

（1）由题意得：cm，cm，

AB=2cm，cm，∴，

∴△APQ∽△ACB，∴∠APQ=∠ACB，∴PQ∥BC．

（2）当圆P与BC相切时，有1个公共点，

AQ=t，PH=PQ=AQ=t，，，

，∴s；

当圆P过点B时，圆P与BC边有2个交点，

此时△PBQ是等边三角形，点P为AC中点，∴cm，t=1s；

当圆P过点C时，，解得：，

∴，则；

当点P与点C重合时，圆P与BC边有1个交点，此时t=2；

当或或t=2时，圆P与BC边有1个交点；

当时，圆P与BC有2个交点．

四、构造相切求最值

【线段最值】

1．（2011·河池）如图，在Rt△ABC中，是直角，，，是边上的动点，设，若能在边上找到一点，使，则的取值范围是　 　．

【分析】点Q满足∠BQP=90°，则以BP为直径作圆，与AC边交点即为点Q，存在这样的点Q即圆与AC有交点．求x的取值范围即分别确定BP的最大值和最小值．

当圆与AC相切时，BP最小，

圆心记为点O，连接OQ，则OQ=OB，由，得，

∴，∴，，

当点P与点C重合时，BP最大，最大值为4，

故x的取值范围是．

【米勒问题-相切构造最大角】

2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．

【分析】

考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．

记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，

故可确定M点位置．

根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），

连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．

∵MC=4，MP=MA=，

∴，即△CPM是等腰直角三角形，

易求P点坐标为（1，4），

又C点坐标为（-1，2），

可求直线l的解析式为y=x+3．