专题22【精品】 最值之瓜豆原理-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

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专题22 最值之瓜豆原理一、轨迹之直线例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．典例精析1．（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．2．（2021•新泰市模拟）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为　　A．2 B． C． D．3．（2021•无棣县模拟）如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．4．（2020•东台市一模）如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为　　．5．（2020•兰溪市模拟）如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为　　．6．（2020•清江浦区一模）如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为　　． 7．（2020•市中区一模）如图，正方形的边长为8，为的四等分点（靠近点的位置），为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．8．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为　　． 二、轨迹之圆例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 典例精析1．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 　　．2．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是　　．3．如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周．（1）点的运动路径是一个圆；（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围．（1）思路引导要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长可以发现，． 4．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为　　．5．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．（1）求证：与相切；（2）连接，若，，求的长；（3）若，，点是任意一点，点是弦的中点，当点在上运动一周，则点运动的路径长为　　．6．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．①点的轨迹是　圆　（填“线段”或者“圆” ；②的最小值是　　；（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．（1）求抛物线解析式；（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点的坐标；（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于、两点在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．