专题09【精品】 正方形中的对称、折叠问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题09 正方形中的对称、折叠问题

正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．

一、典例精析

1．（2019·兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　

A． B． C． D．

【分析】由题意可得：DF⊥EC，

易证△DOM≌△COE，∴OM=OE=DE-DO=．

故选D．

【长度的计算——勾股定理】

2．（2019·青岛）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若AD=4，则的长为　   　．

【分析】

∵E点是CD中点，∴，∴，

由折叠可知AG=AB=4，∴，

设CF=x，则，，

在Rt△EFG中，，

在Rt△CEF中，，

∴，解得：．

∴CF的长为．

【对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分】

3．（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为　　．

【分析】

易证△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，BF=13，

记AE与BF交点为H，，

又，∴，，

∴．故GE的长为．

4．（2019·上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是　　．

【分析】如图，点F如图所示，连接BF、DF、EF、AF，记AF与BE交点为H，

由对称可知AF⊥BE，点H是AF中点，又点E是AD中点，∴EH是△DF边所对的中位线，∴EH∥DF，∴∠EDF=∠AEB，

∴tan∠EDF=tan∠AEB=2．

【构造对称——将军饮马问题】

5．（2019·陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为　　．

【分析】

作点M关于BD的对称点，根据对称性可知在AB上且，

连接，则，∴，

当、N、P共线时，此时，取到最大值．

∵，∴∽△ABC，即是等腰直角三角形，

∴，故PM-PN的最大值为2．

6．（2019·安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是　　

A．0 B．4 C．6 D．8

【分析】可以先考虑一边上点P的数量，再由对称性得所有点P的个数．

考虑在AD上任取一点P，所得PE+PF的最小值和最大值．

先求PE+PF最小值：作点E关于直线AD的对称点，连接、，

则PE+PF=，当、P、F共线时，取到最小值，

此时，显然>9，

∴在AD上存在两个点P使得PE+PF=9，在正方形的边上有8个这样的点P，

故本题选D．

二、中考真题演练

1．（2020•资阳）如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，将沿翻折得到，连接，使，则的长是　　

A．1 B． C． D．

   解：过点作于点，并延长交于点，

，

，

设，则，

，

将沿翻折得到，

，，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

．

故选：．

2．（2021•牡丹江）如图，正方形的边长为3，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接，，，则四边形的面积为　　

A． B． C．6 D．5

   解：设，，

正方形的边长为3，

，，

由折叠可得，，，

在中，，

即，

在中，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

，

，

故选：．

3．（2020•广东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为　　

A．1 B． C． D．2

   解：四边形是正方形，

，，

，

将四边形沿折叠，点恰好落在边上，

，，

，

，

设，则，，

，

解得．

故选：．

4．（2021•东营）如图，正方形纸片的边长为12，点是上一点，将沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点．若，则的长为 　　．

   解：设与交于点，

将沿折叠，点落在点处，

，，

四边形是正方形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：．

5．如图，边长为1的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点，求的长．

   解：延长交于，连接．

四边形是正方形，

，，，

，

由翻折的性质可知，，，，

点是的中点，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

．