专题20【精品】 最值之胡不归问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题20 最值之胡不归问题

一、方法突破

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

【问题分析】

，记，

即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型．

而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．

【问题】

如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值

l

【问题解决】

构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．

将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小．

二、典例精析

1．如图，在中，，，，若是边上一动点，则的最小值为　　

A． B．6 C． D．3

解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：

在中，，

，

，

当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，

此时，，

是等边三角形，

，

在中，

，，，

，

，

，

，

的最小值为3，

故选：．

2．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　

A． B． C． D．8

解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，

，

，

，

，

，

，

，

的最小值为．

故选：．

3．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　．

解：如图，过点作，交的延长线于点，

，

当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，

故答案为：

4．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．10

解：如图，作于，于．

，

，

，设，，

则有：，

，

或（舍弃），

，

，，，

（等腰三角形两腰上的高相等），

，，

，

，

，

，

，

的最小值为．

方法二：作于，交于点，则点满足题意．通过三角形相似或三角函数证得，从而得到．

故选：．

5．如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为．

（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（不含端点），连接．一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间最少？

解：（1），

点的坐标为、点两的坐标为，

直线经过点，

，

，

当时，，

则点的坐标为，

点在抛物线上，

，

解得，，

则抛物线的解析式为；

（2）如图1中，设，作轴于．

①当时，，

，即，

即．解得．

，

解得或1（舍弃），

当时，，

，即，

，

即，

解得或（舍弃），

．

②当时，，

，即，

，

，

，

解得或1（舍弃），

当时，，

，即，

，

或（舍弃），

．

（3）如图2中，作轴交抛物线于，作轴于，作于，

则，

，

，

，

的运动时间，

当和共线时，最小，

则，此时点坐标．

三、中考真题演练

1．如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为　　

A．4 B．5 C． D．

解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．

四边形是菱形，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的最小值为4，

故选：．

2．如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是　　

A． B． C．10 D．

解：，，

．

过点作于点，由勾股定理得．

．

当、、三点共线，且时，

的值最小为．

中，，，，

由等腰三角形腰上的高相等，

，

在中，．

故．

故选：．

3．如图，中，，，于点，点是线段的一个动点，则的最小值是　　．

解：如图，作于，

，

，

，设，，

，

，

，

或（舍去），

，，

，

，

，

当、、三点共线时，，

此时，则根据垂线段最短性质知值最小，

此时．

4．如图，抛物线交轴于，两点（点在点右侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．

（1）求，两点的坐标；

（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；

解：（1）在中，令得：

，解得或，

，；

（2）过作轴于，交于，如图：

抛物线的对称轴为直线，

在中，令得，

，，

，

，

在中，，

最小，即是最小，由垂线段最短可知的最小值即为的长，

点，，关于抛物线的对称轴直线对称，

与关于抛物线的对称轴直线对称，，，

，即的最小值为，

由，，得直线解析式为，

在中，令得，

；

5．如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？

解：（Ⅰ）把，代入，得

，

解得：．

抛物线的解析式为

联立，

解得：或，

点的坐标为．

如图1．

，，，

，，，

，

是直角三角形，

，

；

（Ⅱ）方法一：

（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．

过点作轴于，则．

设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．

，，

．

若点在点的下方，

①如图2①，当时，则．

，，

，

．

．

则．

把代入，得

，

整理得：

解得：（舍去），（舍去）．

②如图2②，当时，则．

同理可得：，则，

把代入，得

，

整理得：

解得：（舍去），，

，；

若点在点的上方，

①当时，则，

同理可得：点的坐标为．

②当时，则．

同理可得：点的坐标为，．

综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；

方法二：

作的“外接矩形” ，易证，

，

以，，为顶点的三角形与相似，

或，

设，，，

①，，

，，

②，

，，（舍，

满足题意的点的坐标为、，、，；

（2）方法一：

过点作轴于，如图3．

在中，，即，

点在整个运动中所用的时间为．

作点关于的对称点，连接，

则有，，，

，．

根据两点之间线段最短可得：

当、、三点共线时，最小．

此时，，

四边形是矩形，

，．

对于，

当时，有，

解得：，．

，，

，

，

点的坐标为．

方法二：

作点关于的对称点，交于点，显然，

作轴，垂足为，交直线于点，如图4，

在中，，即，

当、、三点共线时，最小，

，，

，

，，

，，

，

，，，

为的中点，

，

，

．

方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．

，，

．

，，

，

，

．

．

当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，

抛物线的解析式为，且，

可求得点坐标为

则点横坐标为2，将代入，得．

所以．

6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；

（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？

解：（1）抛物线，

令，解得或，

，．

直线经过点，

，解得，

直线解析式为：．

当时，，

，．

点，在抛物线上，

，

．

抛物线的函数表达式为：．

即．

（2）由抛物线解析式，令，得，

，．

因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是或．

①若，则有，如答图所示．

设，过点作轴于点，则，．

，即：，

．

，代入抛物线解析式，

得，整理得：，

解得：或（与点重合，舍去），

．

，

，即，

解得：．

②若，则有，如答图所示．

设，过点作轴于点，则，．

，即：，

．

，代入抛物线解析式，

得，整理得：，

解得：或（与点重合，舍去），

．

，

，

，

解得，

，

，

综上所述，或．

（3）方法一：

如答图3，由（1）知：，，

如答图，过点作轴于点，则，，，

，

．

过点作轴，则．

过点作于点，则．

由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，

，即运动的时间值等于折线的长度值．

由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．

过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．

点横坐标为，直线解析式为：，

，

，．

综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．

方法二：

作，，交直线于点，

，

，

，

当且仅当时，最小，

点在整个运动中用时为：，

，

，

．