2021届辽宁省辽阳市高三上学期数学期末考试题答案

2021届辽宁省辽阳市高三上学期数学期末考试题答案

1．A ∵，∴．

2．B ，则．

3．C 因为，所以C的离心率．

4．B 依题意可知，“礼”“数”为必选，因此两个孩童都不选“御”的概率为，

故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为．

5．A 由，得，

因为，所以选A．

6．D 建立如图所示的空间直角坐标系，

得，，，，

由，得，

所以，．

设异面直线CD与BE所成角为，

所以．

7．D 因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，

则．

因为在上单调递减，所以在上单调递增，

故等价于，

解得．

8．A 因为，所以，

又函数的图象在处的切线方程为，

所以，

解得，所以，

因为恒成立，所以恒成立．

当时，成立．

当时，令，则．

当时，，

在和上单调递减．

当时，，单调递增，

当时，恒成立，

所以；

当时，恒成立，

而，所以．

综上，，所以m的取值范围为．

9．CD 因为，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故．

10．AC 由题意可得和都是奇函数，且值域为，

是奇函数，但值域为，

是奇函数，但值域为．

11．CD ，

令，，则，，故A错误；

令，，则，，

所以图象的对称中心为，故B错误；

将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得到曲线的图象，

再向下平移2个单位长度得到曲线的图象，故C正确；

将的图象向右平移个单位长度，

得到的曲线方程为，其为偶函数，故D正确．

12．ACD

由椭圆的定义知，故．

因为，所以，

故，，可知椭圆的方程为，

椭圆的焦距为，故A对，B错；

由知，

故点Q在以线段为直径的圆上，

由知圆与椭圆有4个交点，故C对；

依题意知点为弦AB的中点，

设，，则，，

两式相减得．

因为，，

所以，故，

故，即，故D对．

13．1 由题意可得．

因为，所以，解得．

14．60 的展开式的通项为．

令，解得，

则．

15． ．

设，

则．

16．2，

∵，，∴，

又，，

∴平面ABCD．

∵底面ABCD为矩形，∴侧棱PC为球O的直径．

设球O的半径为R，则，即，

又，解得．

过A作于G，取棱PA的中点F，PB的中点E，连接EF．

易证平面APD，则，从而平面PCD．

由等面积法可得，

则F到平面PCD的距离为，

∵，∴，

则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，

故棱PB的中点到平面PCD的距离为．

17．解：（1）由题意可得

解得，．

故．

（2）由（1）可得，则，

故．

18．解：若选①，

因为，所以，

又，所以，

所以，

即．

因为，所以，即，

因为，所以．

因为，所以，

所以，

所以，

不妨设，，，

则的面积为，解得，

从而，，．

故的周长为．

若选②，

因为，

所以，

因为，所以，所以，

所以，即．

因为，所以，所以．

以下步骤同①．

若选③，

因为，

所以，

所以．

因为，所以，

所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．

以下步骤同①．

19．解：（1）因为这160个城镇的猪肉价格在（元千克）内的频率为，

所以据此得全国各地猪肉价格在（元千克）内的概率约为．

（2）因为居民人均收入（元月）在的频率为，

居民人均收入（元月）在的频率为，

所以居民人均收入（元月）的中位数在之间．

因为，

所以中位数约为4357．

（3）列联表如下

因为，

所以有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

20．（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以，

因为平面BCEF，平面BCEF，

所以平面BCEF．

因为平面，平面ADEF，

所以．

（2）解：因为四边形ABCD为菱形，所以．

因为平面ABCD，所以以O为坐标原点，

直线OA，OB，OF分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

取CD的中点M，连接EM，OM，

因为，，

所以，．

因为，

所以为正三角形，．

因为，，，，

所以，，所以，．

从而，，，，，

，，，．

设平面ADEF一个法向量为，

所以所以

令，所以，，．

设平面BCEF一个法向量为，

所以所以

令，所以，，，

所以．

因此平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为．

21．解：（1）依题意得的定义域为，

且．

因为的图象在点处的切线与直线垂直，

所以，

即，解得或，

又因为，所以，

此时，

令，得；令，得．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知，

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，

又，令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，．

22．解：（1）由抛物线的定义可知，准线方程为．

因为，，

所以

（也可以先求直线AB的斜率，再求出的值）

（2）依题意可设直线，

则，，．①

因为，

所以．②

由①②化简整理可得，

则有，即或．

当时，，

解得或，

此时过定点，不符合题意；

当时，对于恒成立，

所以，直线过定点．

因为，所以，且A，B，D，E四点共线，

所以，点D的轨迹是以PE为直径的圆．

设，PE的中点坐标为，，

则D点的轨迹方程为．

验证，当D的坐标为时，

因为，AB的方程为，不符合题意，

所以点D的轨迹方程为（除掉点．

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