专题08 最值问题（1）

1．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 　38　．

【解答】解：连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图：

四边形是矩形，

，

，点是的中点，

，

在以为圆心，2为半径的弧上，当运动到时，最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，

，，

，，

，

，

，

，即四边形面积的最小值是38．

故答案为：38．

2．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为　　．

【解答】解：连接，

，且，，

，

，，

，

四边形是矩形，

，

当时，的值最小，

此时，的面积，

，

的最小值为；

故答案为：．

3．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点．若的半径为7，则的最大值为　10.5　．

【解答】解：当为的直径时，有最大值．

当为直径时，点与点重合，

也是直径，．

是直径上的圆周角，

，

，

．

点、分别为、的中点，

，

．

故答案为：10.5．

4．如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是　　．

【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时，

过点作于点，

在边长为2的菱形中，，为中点，

，，

，

，

，

，

．

故答案为：．

5．如图，为等边三角形，．若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为　　．

【解答】解：是等边三角形，

，，

，

，

，

点的运动轨迹是，

当、、共线时，长度最小，设交于，如图所示：

此时，，

则，，，

，，

．

故答案为：．

6．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为　　．

【解答】解：连接、．

是的切线，

；

根据勾股定理知，

当时，线段最短，

在中，，

，

，

．

故答案为：．

7．如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是　　．

【解答】解：如图，作直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，

的坐标为，

设直线与轴，轴分别交于，，

，，

，，

，

，

在与中，

，

，

，

．

，此时最小，所以此时切线长也最小，最小值为．

8．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为 　　．

【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．

此时最小，且等于的长．

连接，，

，

，

，

，

，

，

则，又，

则．

9．如图，为上一点，，，是半径为的上两点，且，若的最小值为，则半径的最小值是 　　．

【解答】解：如图，过点作，使，

，

，

又，

△，

，

，

当、、三点共线时，的最小值，

作，

当时，最小，

在△中，，

故答案为：．

10．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是　　．

【解答】解：在正方形中，，，，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

取的中点，连接、，

则，

在中，，

根据三角形的三边关系，，

当、、三点共线时，的长度最小，

最小值．

（解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小）

故答案为：．

11．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为　　．

【解答】解：连接，，作垂直于．

根据垂径定理，得到，，

，

，

，

，

在直角中根据勾股定理得到，

则的最小值为．

故答案为：

12．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　．

【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，

，

当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，

故答案为：

13．如图，直线与半径为4的相切于点，是上的一个动点（不与点重合），过点作，垂足为，连接．设，，则的最大值是　2　．

【解答】解：如图，作直径，连接，

，

是切线，

，

，

，

，

，

，

，，半径为4，

，

，

，

当时，有最大值是2，

故答案为：2．

14．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造，连接，则的最小值为　　．

【解答】解：作于点，

在中，，，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

当取得最小值时，即可取得最小值，

当时，取得最小值，

，

，

，

的最小值是，

故答案为：．

15．在中，，，，点是以点为圆心4为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为　7　．

【解答】解：作的中点，连接、．

在直角中，，

是直角斜边上的中点，

．

是的中点，是的中点，

．

，即．

最大值为7，

故答案为：7．

16．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　　．

【解答】解：连接，如图，

，

，

，

当的值最小时，的值最大，

而时，最小，此时、两点重合，

，

即的最大值为，

故答案为：．

17．如图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是　4　．

【解答】解：方法一、延长交于，连接，

则，当过时，最大值为8，，

方法二、连接，，

，

，，，，四点共圆，且为直径为圆心），

连接，则为的一条弦，当为半径时最大，所以时最大．即，

故答案为：4．

18．如图，已知的顶点、分别在直线和上，是坐标原点，则对角线长的最小值为　5　．

【解答】解：过点作直线，交直线于点，过点作轴，交轴于点，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点，如图：

四边形是平行四边形，

，，，

直线与直线均垂直于轴，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

在和中，

，

．

，

，

．

由于的长不变，所以当最小时（即点在轴上），取得最小值，最小值为．

故答案为：5．

19．如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　8　．

【解答】解：过点作于点，作于点，作于点．

，，

，

，

，

即

，

设，则，

，，，

，

，

，

当时，面积的最大值为8．

故答案为8．

20．如图，中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是　1　．

【解答】解：如图所示，过作于，过作，交于，

，，

，

是正三角形，，

，

，即点、、在一条直线上，

正、正和正，

，，，，

，

，

，

，

同理可得，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，，

以为直径作圆，当最大时，的面积最大，

此时为半径，

，

四边形面积的最大值是1．

故答案为：1．