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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体精品ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体精品ppt课件，文件包含924总体离散程度的估计pptx、924总体离散程度的估计docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共27页， 欢迎下载使用。
情境1有 两位射击运动员在一次射击测试中 各射击10次，每次命中的环数如下: 甲7、8、7、9、5、4、9、10、7、4 乙9、5、7、8、7、6、8 、6、7、 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核， 你应当如何做出选择?
通过你们的计算、思考可以发现:要想对本问题给出回答，仅考虑两位运动员射击成绩的集中趋势(平均数、中位数和众数)是不够的.因为甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别.
但我们画出这两组数据的频率分布条形图后，可以看出，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.
那么，我们如何度量或刻画成绩的这种差异呢?
想法一 (极差法)极差是数据的最大值与最小值的差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到甲命中环数的极差10-4=6. 乙命中环数的极差 9-5- 4. 可以发现，甲的成绩波动范围比乙大.
极差在一定程度 上刻画了数据的离散程度极差越大，数据的离散程度越大;极差越小，数据的离散程度越小。 但因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他的数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少.
想法二:我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远;相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的这种差异.
我们可以用这个“平均距离”刻画数据的离散程度.“平均距离”越大，数据的离散程度越大:“平均距离”越小，数据的离散程度越小. 但是，这个“平均距离”计算公式中含有绝对值，计算不方便.为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替即
有时为了计算方便，我们还把方差写成以下形式
追问:方差的单位是什么? 我们说，方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，给使用带来不便，为了使二者的单位一致，可以用方差的算术平方根，即
我们称上式为这组数据的标准差.
这样，我们从定义-组数据的“距离”出发，经历了两次改进的创造过程，获得了刻画了一组数据的离散程度的标准差，即
总体方差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1, Y2, .. YN,总体的平均数为Y，则称
样本方差:如果一 一个样本中个体的变量值分别为y1, y2,.. yn样本的平均数记 为y，则称
标准差与方差一样，刻画了一组数据的离散程度.标准差越大，数据的离散程度越大:标准差越小，数据的离散程度越小. 但是在解决实际问题中，一般多采用标准差.由于计算复杂，我们可以借助计算器或者计算机帮助计算.
情境1有 两位射击运动员在一-次射击测试中 各射击10次，每次命中的环数如下: 甲7、8、7、9、5、4、9、10、7、4 乙9、5、7、8、7、6、8 、6、7、 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核， 你应当如何做出选择? 至此，我们可以用标准差求解情境1了.即用标准差来判断两名运动员成绩的离散程度，计算可得s甲=2 ,s乙≈1.095. 由s甲 > s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定.(这是我们对两位运动员的射击情况做出评价的回答) .
作为一次选拔性考核，我们做出的选择(或决策)为: 如果从这两名选手中选择一名参加比赛，要比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，越稳定越好，所以可以选择成绩稳定的乙选手:如果两人的成绩排在后面，希望比赛时有突出表现的，建议选成绩标准差大的甲.
反思概括:上面的学习， 我们始终坚持解决问题的方法来自问题本身、来自问题的本质或问题的变化规律的原则，探索发现与创造了刻画数据的离散程度的方法一标准差方法. 在实际问题中，总体平均数和总体标准差是未知的就像用样本的平均数估计总体平均数-“样，通常我们用样本标准差去估计总体标准差. 面对实际问题的解决，为了做出“有效决策”，需要我们综合考虑数据的集中趋势信息(平均数、中位数、众数)与数据的离散程度信息(方差、标准差) .
问题1在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗?并对高一年级 全体学生的身高方差作出估计吗?
分析:本例中的问题是:给出了两组数据的观测个数、平均数和方差,将两组数据合为一组数据，求合并后数据的方差，以此为依据对总体方差作出估计. 解:把抽取的男生样本记为x1，x2,.. , x23,样本的平均数记为x，方差记为sx^2;把抽取的女生样本记为y1,y2,. Y27样本的平均数记为y，方差记为sy^2把总样本数据的平均数记为z，方差记为s^2 .
由己知条件可得到:x= 170.6,sx^2 = 12.59, y= 160.6,sy^2 = 38. 62. 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
根据方差的定义，总样本方差(问题的目标)为
要把上面条件用上，求解这个总样本方差，需要对其表达式实施变形，变形为:
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入，可得
= 51.486 2. 我们可以计算出总样本的方差约为51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方差约为51.486 2:
追问:比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你们能发现什么?你们能解释在估计全校学生平均身高时按性别分层随机抽样的理由吗?
我们可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差.相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果更好.男女姓的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好.
本节课我们认识了方差的概念，并学习了标准差的概念，它是刻画一组数据离散程度的统计指标. 面对实际问题的解决，为了做出有效决策，我们探索、发现、创造并生成了个人用样本的标准差(或方差)来估计总体的标准差(或方差)的方法:标准差法.
情境1有 两位射击运动员在一次射击测试中 各射击10次，每次命中的环数如下: 甲7、8、7、9、5、4、9、10、7、4 乙9、5、7、8、7、6、8 、6、7、 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核， 你应当如何做出选择?
通过你们的计算、思考可以发现:要想对本问题给出回答，仅考虑两位运动员射击成绩的集中趋势(平均数、中位数和众数)是不够的.因为甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别.
但我们画出这两组数据的频率分布条形图后，可以看出，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.
那么，我们如何度量或刻画成绩的这种差异呢?
想法一 (极差法)极差是数据的最大值与最小值的差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到甲命中环数的极差10-4=6. 乙命中环数的极差 9-5- 4. 可以发现，甲的成绩波动范围比乙大.
极差在一定程度 上刻画了数据的离散程度极差越大，数据的离散程度越大;极差越小，数据的离散程度越小。 但因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他的数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少.
想法二:我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远;相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的这种差异.
我们可以用这个“平均距离”刻画数据的离散程度.“平均距离”越大，数据的离散程度越大:“平均距离”越小，数据的离散程度越小. 但是，这个“平均距离”计算公式中含有绝对值，计算不方便.为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替即
有时为了计算方便，我们还把方差写成以下形式
追问:方差的单位是什么? 我们说，方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，给使用带来不便，为了使二者的单位一致，可以用方差的算术平方根，即
我们称上式为这组数据的标准差.
这样，我们从定义-组数据的“距离”出发，经历了两次改进的创造过程，获得了刻画了一组数据的离散程度的标准差，即
总体方差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1, Y2, .. YN,总体的平均数为Y，则称
样本方差:如果一 一个样本中个体的变量值分别为y1, y2,.. yn样本的平均数记 为y，则称
标准差与方差一样，刻画了一组数据的离散程度.标准差越大，数据的离散程度越大:标准差越小，数据的离散程度越小. 但是在解决实际问题中，一般多采用标准差.由于计算复杂，我们可以借助计算器或者计算机帮助计算.
情境1有 两位射击运动员在一-次射击测试中 各射击10次，每次命中的环数如下: 甲7、8、7、9、5、4、9、10、7、4 乙9、5、7、8、7、6、8 、6、7、 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核， 你应当如何做出选择? 至此，我们可以用标准差求解情境1了.即用标准差来判断两名运动员成绩的离散程度，计算可得s甲=2 ,s乙≈1.095. 由s甲 > s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定.(这是我们对两位运动员的射击情况做出评价的回答) .
作为一次选拔性考核，我们做出的选择(或决策)为: 如果从这两名选手中选择一名参加比赛，要比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，越稳定越好，所以可以选择成绩稳定的乙选手:如果两人的成绩排在后面，希望比赛时有突出表现的，建议选成绩标准差大的甲.
反思概括:上面的学习， 我们始终坚持解决问题的方法来自问题本身、来自问题的本质或问题的变化规律的原则，探索发现与创造了刻画数据的离散程度的方法一标准差方法. 在实际问题中，总体平均数和总体标准差是未知的就像用样本的平均数估计总体平均数-“样，通常我们用样本标准差去估计总体标准差. 面对实际问题的解决，为了做出“有效决策”，需要我们综合考虑数据的集中趋势信息(平均数、中位数、众数)与数据的离散程度信息(方差、标准差) .
问题1在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗?并对高一年级 全体学生的身高方差作出估计吗?
分析:本例中的问题是:给出了两组数据的观测个数、平均数和方差,将两组数据合为一组数据，求合并后数据的方差，以此为依据对总体方差作出估计. 解:把抽取的男生样本记为x1，x2,.. , x23,样本的平均数记为x，方差记为sx^2;把抽取的女生样本记为y1,y2,. Y27样本的平均数记为y，方差记为sy^2把总样本数据的平均数记为z，方差记为s^2 .
由己知条件可得到:x= 170.6,sx^2 = 12.59, y= 160.6,sy^2 = 38. 62. 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
根据方差的定义，总样本方差(问题的目标)为
要把上面条件用上，求解这个总样本方差，需要对其表达式实施变形，变形为:
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入，可得
= 51.486 2. 我们可以计算出总样本的方差约为51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方差约为51.486 2:
追问:比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你们能发现什么?你们能解释在估计全校学生平均身高时按性别分层随机抽样的理由吗?
我们可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差.相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果更好.男女姓的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好.
本节课我们认识了方差的概念，并学习了标准差的概念，它是刻画一组数据离散程度的统计指标. 面对实际问题的解决，为了做出有效决策，我们探索、发现、创造并生成了个人用样本的标准差(或方差)来估计总体的标准差(或方差)的方法:标准差法.
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