2021江西省南昌市高三下学期数学理一模考试题

2021届江西省南昌市高三下学期数学理一模考试题

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．

4.考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.     D.

2.复数满足，则（    ）

A.    B.    C.      D.  3

3.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则＝（    ）

A.    B. 2     C.  4     D.

4. 如图，分别为菱形的边上的点，且现将∆沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（    ）

A. 直线有可能平行                             

B. 直线一之定异面

C. 直线一定相交，且交点一定在直线上

D. 直线一定相交，但交点不一定在直线上

5.中，角所对的边分别为，满足，，，则（    ）

A.     B.     C.    D.

6. 如图，将框图输出的看成输入的的函数，得到函数，则的图像（    ）

A.关于直线对称 　B.关于直线对称

C.关于轴对称   D.关于点对称

7. 已知直线的方程是，则“原点在直线的右上方”是“点”在直线的右上方的（    ）

A.充分不必要条件  B. 必要不充分条件 C．充要条件  D.既不充分也不必要条件

8. 已知正数满足，则（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知右侧左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（    ）

A.10米   B. 20米   C. 米   D.米

10. 已知，则（    ）

A. 或1    B.  或－1 

C. 或1    D. 或－1

11. 如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（为常量），油面高度为，油面宽度为，储油量为（为变量），则下列说法：

①是的函数   ②是的函数   ③是的函数  ④是的函数

其中正确的个数是（    ）

1个      B. 2个  C. 3个   D. 4个

12. 已知的最小值为0，则正实数的最小值是（    ）

A.     B.    C.     D. 1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则向量夹角的余弦值为         ．

14. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为        ．

15. 2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：

并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为          ． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）

16. 如图，是圆台的轴截面， ，过点与垂直的平面交下底圆周于两点，则四面体的体积为          ．

三、解答题：共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一） 必考题：共60分．

17. （12分）已知为公差不为0的等差数列，且成等比数列．

（I）求的通项公式；

（II）设，求数列的前项和．

18.（12分）如图三棱柱中，，侧面是矩形，侧面是菱形，，是棱的中点．

（）求证：平面；

（2）设是的中点，求二面角的余弦值．

19.（12分）已知函数为自然对数的底数）．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若在上单调递增，求证：．

20.（12分）为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是．

（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；

（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？

21.（12分）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于两点，直线过点，且点关于直线的对称点．

（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；

（2）过点且垂直于的直线交轴于点，与抛物线的另一个交点分别为，记的面积为，的面积为，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做， 按所做的第一题计分．

22. （10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点与极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为：（为参数），直线的极坐标方程为：．

求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

设是曲线与直线的公共点，点的坐标为（2，0），求的值．

23. （10分）选修4－5：不等式选讲

已知．

当时，求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围．