2022届浙江省宁波市高三下学期4月二模考试数学试题含答案

宁波市2021学年第二学期高考模拟考试

高三数学试卷

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式

柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高；

锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高；

台体的体积公式：，其中，分别表示台体上、下底面积，表示台体的高；

球的表面积公式：，球的体积公式：，其中表示球的半径；

如果事件，互斥，那么；

如果事件，相互独立，那么；

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．

第I卷（选择题部分，共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

3．已知，为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

4．若实数，满足约束条件则的最大值是（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

5．的展开式中的系数是（    ）

A．10 B． C． D．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C．  D．

7．如图，在正三棱台中，，，．，分别是，的中点，则（    ）

A．直线平面，直线与垂直

B．直线平面，直线与所成角的大小是

C．直线与平面相交，直线与垂直

D．直线与平面相交，直线与所成角的大小是

8．正实数，，互不相等且满足，则下列结论成立的是（    ）

A． B． C． D．

9．已知平面向量，，满足，，，（，）．当时，（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列满足，．若对恒成立，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．若复数（为虚数单位），则等于______．

12．2022年北京冬奥会开幕式以中国传统24节气作为倒计时进入，草木生长的勃勃生机拉开春意盎然的开幕式序幕．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长与最短的日子分别被定为冬至与夏至，其日影长分别为13.5尺与1.5尺．从冬至到夏至，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至这十三个节气，其日影长依次成等差数列，则北京冬奥会开幕日（立春）的日影长是______尺．

13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是______，表面积（单位：）是______．

14．一个袋中装有大小质地完全相同的个红球和个白球，从中任取3个球．记取出的白球个数为，若，则______，______．

15．如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则______，的面积是______．

16．设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是______；若函数有4个零点，则的值是______．

17．已知点是椭圆：的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是______．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．已知．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）求函数在的取值范围．

19．如图，在四棱锥中，，均为等边三角形，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，分别是，的中点，在边上，且．求直线与平面所成角的正弦值．

20．在正项等比数列中，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足求数列的前项和．

21．已知点在抛物线上，点（其中）．如图过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在点的上方），直线与抛物线交于另一点．

（Ⅰ）记，当时，求的值；

（Ⅱ）若面积大于27，求的取值范围．

22．设实数，函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）若存在，满足，，且，求的取值范围．（注：是自然对数的底数）

宁波市2021学年第二学期高考模拟考试

高三数学答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

9．解析：作，，，由题意，

设直线与直线交于点，

∵（，），

∴点在线段上（不含端点）

又，结合等和线性质，可知

作于，于，

有，

记

①当点在线段上时，，

由，得，可解得，进而有

此时，，

（注：点为线段的中点，在线段上，符合题意）

可得，所以

②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，．

10．解析：令，则问题转化为，，且．

当时，则，不符合题意；

当时，首先，解得．

当时，由数归法可知：，其中满足．

所以．

令，，则，所以先增后减．

所以．

所以．

当时，设满足，则存在，

此时，不符合题意．

综上，正实数的取值范围是，故选：B．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．    12．    13．60，14．2，2

15．，16．，17．

16．解析：（1）要使的最小值为0，则当时，有解，

即有解，所以．

（2）当时，的解为；

当时，有三个解．

若，则至多只有两个解，不符合题意，所以．

所以有，解得．

17．解析：要使，只要，只要，

即只要．

∵直线方程为：，

，

得，即------（*）

注意到为方程（*）的一个根，故，

所以点，可得，

进而有

解不等式，得，

所以离心率的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．解：

（Ⅰ）

因为，

所以，

函数的单调递增区间为，；

（Ⅱ）

因为，所以，

因此函数在的取值范围为．

19．（Ⅰ）证明：取中点，因为，均为等边三角形，，

所以，，三点共线，且，，

又，所以平面，即平面．

（Ⅱ）如图以、的交点为坐标原点建立空间直角坐标系．

设，则，

，，，

则，

设平面的法向量为

，即，

令，则，，即

设直线与平面所成的线面角大小为，

则，

因此直线与平面所成的线面角的正弦值．

法二：易得点在底面上的投影为的中心．如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，

则，，，

于是，，．

设平面的法向量为

，即，

取．

设直线与平面所成的线面角大小为，

则．

因此直线与平面所成的线面角的正弦值．

法三：易得点在底面上的投影为的中心．

由几何关系可知：三点共线，且，．

又易得，所以．

所以面，面面．

点到面的距离，点到面的距离．

设，则．

在中，，代入数据得：，

解得：．

设直线与平面所成的线面角大小为，

则，

因此直线与平面所成的线面角的正弦值．

20．解析：（1）设公比为，由题，

解得或（舍）．

所以．

（2）因为，所以

令，则

所以

令，．

则．

则

作差可得：

所以

所以．

21．解析：（1）由题可知：，所以，．

当时，，，联立解得：，．

∴，

又

∴．

所以．

（Ⅱ）设，，则．

令，则，即．

．

联立得：．

∴．

而，

∴

因为且，所以．

所以．

令，

则．

∴在上单调递减．

又当时，．

所以当时，．

∴．

22．解析：

（Ⅰ）当时，，

由于，在上均为增函数，

可知在上单调递增．

又，故在上“”，在上“”，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因此，的极小值为．

（Ⅱ）由题意，得

同（Ⅰ）分析，可知存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增．

记，可知当时，，

注意到当时，

若恒大于，

则等价于----（*）

又由，得，

代入（*），得，解得，

所以

下面证明恒成立．

先证．

令，

由，得，

求导得

令，，考虑函数

由，得，

所以————①

由于对任意成立，

分别取和，得，，

上述两式相加，得

所以————②

将①，②两式代入，得

又由，得，

分别取和，得，

从而，也即，所以在上单调递减

∵，，∴

又∵，，在上单调递增，∴故有

再证

由于对任意成立，分别取和，

得，，上述两式相加，

得

又由，得，故有．

因此，．