2021上海市金山区高三下学期数学4月二模试题

这是一份2021上海市金山区高三下学期数学4月二模试题，共4页。

（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．已知集合，集合，若，则= ．
2．若关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则= ．
3．不等式≥0的解集为 ．
4．若直线的参数方程为 （t为参数，tR），则在轴上的截距为 ．
5．若（a、bR，i为虚数单位），则a+b = ．
6．某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．
7．若正方形ABCD的边长为1，记，，，则 ．
8．一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3个球，则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_______（结果用最简分数表示）．
9．若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为 ．
10．函数（a>1且a≠1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0，其中m>0，n>0，则的最小值为 ．
11．若函数，其中≤x≤，则的最大值为 ．
12．已知向量与的夹角为60º，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．函数（）的最小正周期为( )．
(A) (B) (C) (D)
14．下列命题为真命题的是( )．
(A) 若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直
(B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
(C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
(D) 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
15．设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为( )．
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
16．已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为( )．
(A) (B) (C) (D)
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分)
随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C- A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，．
(1) 求的长度；
(2) 为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A- D- C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若，求新建的健康步道A- D- C的路程最多可比原有健康步道A- B- C的路程增加多少长度？（精确到）
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
(1) 求棱的长；
(2) 求点到平面的距离．
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知抛物线的焦点为，半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上，过圆心的动直线与抛物线交于、两点，如图所示．
(1) 若圆经过抛物线的焦点，且圆心位于焦点的右侧，求圆的方程；
(2) 是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出该定点的坐标，若不存在，则说明理由．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)
在数列中，已知，()．
(1) 证明：数列为等比数列；
(2) 记，数列的前项和为. 求使得的整数的最小值；
(3) 是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)
设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
(1) 若函数为“函数”，求实数的值；
(2) 若函数为“函数”，求实数的取值范围；
(3) 已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．