2020-2021学年1.2 集合间的基本关系导学案

1.1.2 集合间的基本关系

课堂导学

三点剖析

一、集合间的关系

【例1】 判断下列各式是否正确.

(1){x|x≤2};

(2)∈{x|x≤2};

(3){}{x|x≤2};

(4)∈{x|x≤2};

(5){x|x≤2};

(6){a,b,c,d}{e,f,b,d,g}.

思路分析：要注意元素与集合之间、集合与集合之间关系符号的不同，绝对不能混淆.

解：根据元素与集合、集合与集合之间的有关规定，(1)(4)(6)不正确，(2)(3)(5)正确.

温馨提示

一般来说，元素与集合之间应该用“”或“∈”；而“，”应该出现于集合与集合之间；作为特殊集合应遵从A，A(非空).但这不是绝对的，选择的关键在于具体分析二者的关系.例{1,2}∈{{1,2},{1}}，而∈{,1},{,1}都是对的.

二、运用集合间的关系解题

【例2】 {a,b}A{a,b,c,d,e},求所有满足条件的集合A.

思路分析：从子集、真子集的概念着手解答.

解：因为{a,b}A,所以，A中必有元素a,b.

    因为，A是{a,b,c,d,e}的真子集，所以，A中元素可以有2个，3个，4个三种情形.具体为：{a,b};{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,b,c,d};{a,b,c,e};{a,b,d,e}共7个.

温馨提示

    1.按顺序摆，做到不重不漏.

    2.正确地把集合语言表述的问题“翻译”成普通数学语言.

【例3】 集合A={1,3,a},B={a2},且BA，求实数a的取值集合.

思路分析：在利用BA这一条件时要注意对a进行讨论.

解：由于B={a2}A={1,3,a},

   因此，①a2=1,得a=1(不合题意舍去)或a=-1;

   ②a2=3得a=±；

    ③a2=a得a=1(不合题意舍去)或a=0.

    综上，实数a的取值集合为{-1,,-,0}.

温馨提示

    1.分类讨论思想是很重要的思想方法，注意掌握分类方法；

    2.在解决集合的元素问题时，最后结论要注意检验元素是否具备互异性.

三、元素与集合之间、集合与集合之间的关系再讨论

【例4】 已知集合A={a,b},B={x|x∈A,}C={x|xA},试判断A、B、C之间的关系.

解：集合B中的代表元素是x,x满足的条件是x∈A,因此x=a或x=b,即B={a,b}=A,而集合C则不然，集合C的代表元素虽然也是x，但x代表的是集合，xA,因此，x={a}或x={b}或x={a,b}或x= ,即C={，{a},{b},{a,b}}，此时集合C中的元素是集合，故BC,A∈C.

∴A=B,BC,A∈C.

温馨提示

    对于元素与集合、集合与集合之间的∈、关系要理解透彻，“∈”是用于描述元素与集合之间的关系，即只要元素a是构成集合A的一个元素，则a∈A，如{1}与{{1}，{2}}，尽管{1}是一个集合，但是{1}是构成集合{{1}，{2}}的一个元素，故{1}∈{{1}，{2}}，“”是用于描述集合与集合之间的关系，如{1，2，3}{1,2,3,4}.

各个击破

类题演练1

下列各式中，正确的个数是（    ）

①={0}  ②{0}  ③∈{0}  ④0={0}⑤0∈{0}  ⑥{1,2}{1,2}

A.1 个              B.2 个              C.3 个               D.4个

解析：正确命题有②⑤⑥.

答案：C

变式提升1

在以下五个写法中，写法正确的个数有（    ）

①{0}∈{0,1,2}  ②{0}  ③{0,1,2}{1,2,0}  ④0∈  ⑤1∈{x|x{1,2}}

A.1个               B.2个                C.3个                D.4个

解析：①集合与集合之间应用，或=而不是属于关系.②空集是任何非空集合的真子集.③两集合相等时也可以写成AB的形式.④中不含任何元素.⑤此集合的元素是集合而不是数字.故②和③是正确的.

答案：B

类题演练2

求满足条件{x|x2+1=0}M{x|x2-1=0}的集合M的个数.

解析：{x|x2-1=0}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}.所以满足条件

{x|x2-1=0}M{x|x2-1=0}的集合M共3个.

变式提升2

集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},试写出该集合的所有真子集.

解析：由集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},x∈N,则x=-y2+6≥0y2≤6.

    又因为y∈N，所以y=0,1,2，相应地x=6,5,2.

    集合为{2,5，6}，其真子集个数为23-1=7个.

    分别写出为,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}.

类题演练3

已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且AB,求a的值.

解析：∵BA，∴①当a2-a+1=3时，a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.

    ②当a2-a+1=a时，a=1,代入A中不满足A中元素互异性，舍去.∴a=2或a=-1.

变式提升3

设A={x|4x+p<0},B={x|x<-1或x>2},若使AB,则p的取值范围是________________.

解析：A={x|4x+p<0}={x|x<-}画数轴，

分析得-≤-1,∴p≥4.

类题演练4

集合A={（x,y）x=1}与B={（x,y）|y=x}的关系是（    ）

A.A=B           B.AB           C.AB          D.AB

解析:注意=1与y=x这两个式子是不同的，前者只有x≠0时才有意义，故A中少一个点（0，0），因此AB.

答案：B

变式提升4

已知a、x∈R,A={2，4，x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},求使2∈B，BA的a与x的值.

解析：∵2∈B,∴x2+ax+a=2.

    ∵BA,∴3=x2-5x+9.

    解得或

    答案：或