初三-相似学案

这是一份初三-相似学案，共34页。学案主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 三角形相似的“基本图形”：
（1）平行线型： 如图1、图2,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型的基本图形.

（2）相交线型：如图3、图4,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.

图3 图4
（3）母子型：将图5中的DE向下平移至点C,则得图5,有△ACD∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=,CD则为斜边上高(如图6), 则有△ACD∽△ABC∽△CBD.

（4）旋转型：将图7中的△ADE绕点A旋转一定角度,则得图11,称之为旋转型的基本图形.




2. 怎样寻找相似三角形：证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，常见的几种策略：
（1）三点定型法，基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论；
（2）等线段代换法，有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似，这时，我们可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形；
（3）等式代换法，当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法”确定三角形．
一、选择题：
1.（2018•毕节市）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）

2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①=；②=；③=；④=．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个



3.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25

A．1 B．2 C．3 D．4

4.（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12


5（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2



6.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10


7.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2



8.已知平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，EF与对角线AC交于P，若=，=，则的值为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题
1. （2018•牡丹江）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为　 　．
2.（2017•内江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是　 　．


3.（2018•巴彦淖尔）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=12，P为上任意一点（不与点B，C重合），直线CP交AB的延长线于点Q，⊙O在点P处的切线PD交BQ于点D，则下列结论：①若∠PAB=30°，则的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在上的位置如何变化，CP•CQ=108．其中正确结论的序号为　 　．



4.（2018•青海）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，则=　 　．


5.（2018•常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　 　．



6.（2018•贵阳）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为　 　．

7. （2018•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则=　 　．

8．（2018•沈阳）如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=　 　．



三，简答题
1.（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB=BE=1，求CD的长度．


2.（2018•乐山）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．


3.（2018•苏州）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD=3时，=　 　；
（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．


4.（2018•包头）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．
①求的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．









































参考答案：
一、选择题：
1.（2018•毕节市）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
故选：A．
2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①=；②=；③=；④=．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且=，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且=，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴===，①错误；
=（）2=，③错误；
∵===，
∴=，④正确；
故选：B．
3.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25

A．1 B．2 C．3 D．4
故选：C．
4.（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12

解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴==2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选：D．

5（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2


【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，
∴AC=5
过点D作DF⊥AC于F，
∴∠AFD=∠CBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACB，
∴△ADF∽△CAB，
∴，
∴，
设DF=x，则AD=x，
在Rt△ABD中，BD==，
∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
∴，
∴x=2，
∴AD=x=2，
故选：D．
6.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10

【解答】解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=（3﹣）ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=K，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10
故选：D．
7.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2


解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；
记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∵，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF=AH，故③正确；
∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，
∴△AFG∽△CBG，故④正确；
在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，
设EF=a，
∵△ADF≌△BAH，
∴BH=AF=2x，
△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，
∴BE=AE=AF+EF=a+2x，
∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，
∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，
∴△PAF∽△EAH，
∴=，即=，
整理，得：2x2=（﹣1）ax，
由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；
故选：B．
8.已知平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，EF与对角线AC交于P，若=，=，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过E作EH∥AD，交DC于H，交AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EH∥BC，
∴=，
∵DC∥AB，
∴=，
∴=，
∴EG=EH，
∵=，
∴=，=，
∴AF=AD=EH，S△APD=S△APF，
∵AD∥EH，
∴AF∥EG，
∴==，
∴=，
∵，，
∴=，
∴=，
∴=，
∴S△EPC=S△EPG，
∴==××=；
故选：B．

二．填空题
2. （2018•牡丹江）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为　 　．
解：如图：

∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，
∴AC=10；
∵AM：MC=2：3，
∴AM=4，MC=6；
∵tan∠DAC==，
∴，
∴EM=3；
若P在线段AM上，
∵∠EAC=∠PEM，
∴tan∠PEM=tan∠DAC=，
∴，
∴PM=，
∴AP=AM﹣PM=；
若P在线段MC上，
∵∠EAC=∠PEM，
∴tan∠PEM=tan∠DAC=，
∴，
∴PM=，
∴AP=AM+PM=，
∴AP的长为．

3. （2017•内江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是　 　．

解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．

∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，
∴MB=ME，
又∵AM=AB，
∴BM=2AM．EM=2AM，
∴AM=AE，
∴AE=AB，
∴AE=BE，
∵AD∥BC，
∴△EAD∽△EBC，
∴=，
∴S四边形ADCB=S△EBC=，
∴S△EBC=，
∴S△EAD=×=，
∴S四边形AMCD=S△EBC﹣S△EAD=﹣=1，
故答案为：1．

3.（2018•巴彦淖尔）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=12，P为上任意一点（不与点B，C重合），直线CP交AB的延长线于点Q，⊙O在点P处的切线PD交BQ于点D，则下列结论：①若∠PAB=30°，则的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在上的位置如何变化，CP•CQ=108．其中正确结论的序号为　 　．


【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧 的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到 =，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CP•CQ=CA2，据此即可判断；
【解答】解：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴的长为 =2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴=，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
∴PD=OP=6，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴=，即CP•CQ=CA2=72，故④错误；
故答案为：②③．
4.（2018•青海）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，则=　 　．


5.（2018•常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　 　．

解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．

6.（2018•贵阳）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为　 　．

8. （2018•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则=　 　．
6.解：如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，

∵四边形DEFG是矩形，
∴AQ⊥DG，GF=PQ，
设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，
由DG∥BC知△ADG∽△ABC，
∴=，即=，
则EF=DG=（4﹣x），
∴EG=
=
=
=，
∴当x=时，EG取得最小值，最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．
7.【分析】由中点定义可得DE=CE，再由翻折的性质得出DE=EF，BF=BC，∠BFE=∠D=90°，从而得到DE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△EDG≌Rt△EFG，得出DG=FG，设DG=a，求出GA、AD，再由矩形的对边相等得出AD=BC，求出BF，再求出BG，由勾股定理得出AB，再求比值即可．
【解答】解：连接GE，
∵点E是CD的中点，
∴EC=DE，
∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，
∴EF=DE，∠BFE=90°，
在Rt△EDG和Rt△EFG中
，
∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），
∴FG=DG，
∵=，
∴设DG=FG=a，则AG=7a，
故AD=BC=8a，
则BG=BF+FG=9a，
∴AB==4a，
故==．
故答案为：．


8．（2018•沈阳）如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=　 　．


解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，
∴sin∠AHE=，HE=AH，
∴AE=AH•sin60°=AH，
∴CH=AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，
∴BE=2，HE=1，AE=CH=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，
在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴===2，
∴DH=HF=×=．
故答案为．

三，简答题
1.（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB=BE=1，求CD的长度．

（1）证明：∵BC为⊙M切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB是⊙M的直径
∴∠AGB=90°
即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
（2）解：过点G作GH⊥BC于H

∵MB=BE=1
∴AB=2
∴AE=
由（1）根据面积法
AB•BE=BG•AE
∴BG=
由勾股定理：
AG=，GE=
∵GH∥AB
∴
∴
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理：②
①+②，得

∴
∴CD=

2.（2018•乐山）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．

【解答】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA=PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）解：连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．
由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．
在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，
由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，
解得PB=6，
∴PA=PB=6，
∵OP⊥AB，
∴BF=AF=AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF=PA=3，
∴△DFE∽△QEA，
∴==，
设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，
∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，
∴==．


3.（2018•苏州）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD=3时，=　 　；
（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

解：问题1：
（1）∵AB=4，AD=3，
∴BD=4﹣3=1，
∵DE∥BC，
∴，
∴==，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴=，即，
故答案为：；
（2）解法一：∵AB=4，AD=m，
∴BD=4﹣m，
∵DE∥BC，
∴==，
∴==，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴===，
即=；
解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴=，
∴===，
即=；

问题2：如图②，
解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴，
∴OA=AB=4，
∴OB=8，
∵AE=n，
∴OE=4+n，
∵EF∥BC，
由问题1的解法可知：===，
∵==，
∴=，
∴===，即=；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，
∵AD∥BC，且AD=BC，
∴=，
∴S△ADC=，
∴S△ADC=S，S△ABC=，
由问题1的结论可知：=，
∵MF∥AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴===，
∴S△CFM=×S，
∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=+×S=，
∴=．


4.（2018•包头）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．
①求的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．
解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=，
∵O是BD中点，
∴OD=OB=OA=，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴，∴DO2=DE•DA，
∴设AE=x，
∴DE=5﹣x，
∴（）2=5（5﹣x），
∴x=，
即：AE=；

（2）如图2，在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CED=∠AFE，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB﹣AF=1，
过点G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CKG∽△CBF，
∴，
设BK=GK=y，
∴CK=5﹣y，
∴y=，
∴BK=GK=，
在Rt△GKB中，BG=；
（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
设D'H=DH=z，
∴HC=3﹣z，
根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，
∴z=，
∴DH=，CH=，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'=∠D=90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
∴∠MD'H=∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD=∠D'MH，
∴∠EHD'=∠D'MH，
∴D'M=D'H，
∵AD∥BC，
∴∠NED'=∠ECB，
∴∠MD'H=∠ECB，
∵CE=CB=5，
∴，
∴△D'MH∽△CBE．