初一重难点习题

这是一份初一重难点习题，共43页。试卷主要包含了阅读下列材料，问题情境，分类讨论等内容，欢迎下载使用。




初一重难点复习资料



1．已知 AM / /CN ，点 B 为平面内一点， AB ^ BC 于 B ．

（1）如图 1，直接写出 ÐA 和 ÐC 之间的数量关系

；

（2）如图 2，过点 B 作 BD ^ AM 于点 D ，求证： ÐABD = ÐC ；

（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E 、 F 在 DM 上，连接 BE 、 BF 、 CF ，
BF 平分 ÐDBC ，BE 平分 ÐABD ，若 ÐFCB + ÐNCF = 180° ，ÐBFC = 3ÐDBE ，
求 ÐEBC 的度数．
















2．如图， AD 是 DABC 的角平分线，点 E 在 BC 上．点 G 在 CA 的延长线上， EG 交 AB 于

点 F ， ÐAFG = ÐG ，求证： GE / / AD ．






























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3．阅读下列材料：

已知：如图 1，直线 AB / /CD ，点 E 是 AB 、CD 之间的一点，连接 BE 、DE 得到 ÐBED ．求

证 ： ÐB E D= Ð B + ÐD． 小 冰 是 这 样 做 的 ： 证 明 ： 过 点 E 作 EF / / AB ， 则 有

ÐBEF = ÐB ．Q AB / /CD ，\ EF / /CD ．\ÐFED = ÐD ．\ÐBEF + ÐFED = ÐB + ÐD ．图

1 即 ÐBED = ÐB + ÐD ．

请利用材料中的结论，完成下面的问题：

已知：直线 AB / /CD ，直线 MN 分别与 AB 、 CD 交于点 E 、 F ．

（1）如图 2， ÐBEF 和 ÐEFD 的平分线交于点 G ．猜想 ÐG 的度数，并证明你的猜想；

（2）如图 3，EG1 和 EG2 为 ÐBEF 内满足 Ð1 = Ð2 的两条线，分别与 ÐEFD 的平分线交于点

G1 和 G2 ．求证： ÐFG1E + ÐG2 = 180° ．













































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4．（1）问题情境：如图 1， AB / /CD ， ÐPAB = 130° ， ÐPCD = 120° ．求 ÐAPC 的度数．

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图 2，过 P 作 PE / / AB ，\ÐAPE + ÐPAB = 180° ．

\ÐAPE = 180° - ÐPAB = 180° - 130° = 50° ．

Q AB / /CD ．\ PE / /CD ．
¼¼¼¼

请你帮助小明完成剩余的解答．

（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图 3， AD / / BC ，点 P 在射线 OM 上运动， ÐADP = Ða ， ÐBCP = Ðb ．
①当点 P 在 A 、 B 两点之间时， ÐCPD ， Ða ， Ðb 之间有何数量关系？请说明理由．
②当点 P 在 A 、 B 两点外侧时（点 P 与点 O 不重合），请直接写出 ÐCPD ， Ða ， Ðb 之间

的数量关系．










































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5．如图 1，在 DABC 中，BE 平分 ÐABC ，CE 平分 ÐACB ，若 ÐA = 82° ，则 ÐBEC =







；


若 ÐA = a° ，则 ÐBEC =

．


【探究】

（1）如图 2，在 DABC 中，BD ，BE 三等分 ÐABC ，CD ，CE 三等分 ÐACB ，若 ÐA = a° ，


则 ÐBEC =

；


（2）如图 3，O 是 ÐABC 与外角 ÐACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析 ÐBOC 和 ÐA 有

怎样的关系？请说明理由；

（3）如图 4，O 是外角 ÐDBC 与外角 ÐBCE 的平分线 BO 和 CO 的交点，则 ÐBOC 与 ÐA 有

怎样的关系？请说明理由．

















































第 4 页（共 40 页）








6．如图①，在 DABC 中， ÐABC 与 ÐACB 的平分线相交于点 P ．

（1）如果 ÐA = 80° ，求 ÐBPC 的度数；
（2）如图②，作 DABC 外角 ÐMBC ， ÐNCB 的角平分线交于点 Q ，试探索 ÐQ 、 ÐA 之间

的数量关系．

（3）如图③，延长线段 BP 、 QC 交于点 E ， DBQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 2

倍，求 ÐA 的度数．
























































第 5 页（共 40 页）








7．已知 5a = 2b = 10 ，求







1 1
a b








的值．


8．若 m 、 n 满足 | m - 3 | +(n + 2016)2 = 0 ，求 m-1 + n0 的值．

9．分类讨论

已知 ( x -1) x+6 = 1，求 x 的值．

2
























































第 6 页（共 40 页）+
10．已知 an = -1， b2n = 3，求 (-a b)4n 的值．








11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图 1

可以得到 (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 ，请解答下列问题：











（1）写出图 2 中所表示的数学等式










．


（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：


若 a + b + c = 10 ， ab + ac + bc = 35 ，则 a2 + b2 + c2 =

．


（4）小明同学用图 3 中 x 张边长为 a 的正方形， y 张边长为 b 的正方形 z 张边长分别为 a 、


b 的长方形纸片拼出一个面积为 (5a + 7b)(9a + 4b) 长方形，则 x + y + z =









































第 7 页（共 40 页）

．









12．先化简，再求值：当 | x - 2 | +( y + 1)2 = 0 时，求 [(3x + 2 y)(3x - 2 y) + (2 y + x)(2 y - 3x)] ¸ 4x

的值．

13．如图 1 是一个长为 2a ，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方

形，然后按如图 2 的形状拼成一个正方形．


（1）图 2 的阴影部分的正方形的边长是

．


（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．


【方法 1】 S阴影 =

【方法 2】 S阴影 =

；

；


（3）观察如图 2，写出 (a + b)2 ， (a - b)2 ， ab 这三个代数式之间的等量关系．

（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：

若 x + y = 10 ， xy = 16 ，求 x - y 的值．









































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14．我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，

有助于探索解决问题的思路．

（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图 1 所示，将边长为 a 的大正方形剪去

一个边长为 b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图 2，显然图 1 中的图形与


图 2 中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是

．

（2）计算： (x + a)(x + b) =

；请画图说明这个等式．
























































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15．发现与探索．

（1）根据小明的解答将下列各式因式分解

小明的解答： a2 - 6a + 5 = a2 - 6a + 9 - 9 + 5 = (a - 3)2 - 4 = (a - 5)(a -1)

① a2 -12a + 20

② (a -1)2 - 8(a -1) + 7

③ a2 - 6ab + 5b2












（2）根据小丽的思考解决下列问题：

小丽的思考：代数式 (a - 3)2 + 4 无论 a 取何值 (a - 3)2 都大于等于 0，再加上 4，

则代数式 (a - 3)2 + 4 大于等于 4，则 (a - 3)2 + 4 有最小值为 4．

①说明：代数式 a2 -12a + 20 的最小值为 -16 ．

② 请 仿 照 小 丽 的 思 考 解 释 代 数 式 -(a + 1)2 + 8 的 最 大 值 为 8 ， 并 求 代 数 式

-a 2 +12a - 8 的最大值．
























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16．（1）计算并观察下列各式：

第 1 个： (a - b)(a + b) =

；


第 2 个： (a - b)(a2 + ab + b2 ) =

；


2

；


¼¼

这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．

（2）猜想：若 n 为大于 1 的正整数，则


n-2 n-3 2

；


（3）利用（2）的猜想计算： 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ¼¼+ 23 + 22 + 1 =

．


（4）拓广与应用： 3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + ¼¼+ 33 + 32 + 1 =












































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．第 3 个： (a - b)(a 3 + a b + ab 2 + b 3 ) =
(a - b)(an-1 + a b + a b2 + ¼¼ + a bn-3 + abn-2 + bn-1 ) =








参考答案与试题解析

一．解答题（共 16 小题）
1．已知 AM / /CN ，点 B 为平面内一点， AB ^ BC 于 B ．

（1）如图 1，直接写出 ÐA 和 ÐC 之间的数量关系
ÐA + ÐC = 90°

；

（2）如图 2，过点 B 作 BD ^ AM 于点 D ，求证： ÐABD = ÐC ；

（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E 、 F 在 DM 上，连接 BE 、 BF 、 CF ，
BF 平分 ÐDBC ，BE 平分 ÐABD ，若 ÐFCB + ÐNCF = 180° ，ÐBFC = 3ÐDBE ，
求 ÐEBC 的度数．











【考点】 IL ：余角和补角； JB ：平行线的判定与性质

【专题】16：压轴题；34：方程思想

【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点 B 作 BG / / DM ，根据同角的余角相等，得出 ÐABD = ÐCBG ，再根
据平行线的性质，得出 ÐC = ÐCBG ，即可得到 ÐABD = ÐC ；
（3）先过点 B 作 BG / / DM ，根据角平分线的定义，得出 ÐABF = ÐGBF ，再设

ÐDBE = a ， ÐABF = b ， 根 据 ÐCBF + ÐBFC + ÐBCF = 180° ， 可 得


( a + b + a +

(a3+ b =) ，1根°8据0 AB ^ BC，可得 b + b + 2a = 90° ，最后


解

方

程

组

即

可

得

到

ÐABE = 15°

，

进

而

得

出

ÐE
B =C
Ð

A
B+ 1 EÐ5
A9= B0．C° 1+ 0
5°
=
°


【解答】解：（1）如图 1，Q AM / /CN ，
\ ÐC = ÐAOB ，
Q AB ^ BC ，
\ ÐA + ÐAOB = 90° ，
\ ÐA + ÐC = 90° ，
故答案为： ÐA + ÐC = 90° ；

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2 ) 3











（2）如图 2，过点 B 作 BG / / DM ，
Q BD ^ AM ，
\ DB ^ BG ，即 ÐABD + ÐABG = 90°，
又Q AB ^ BC ，
\ ÐCBG + ÐABG = 90° ，
\ ÐABD = ÐCBG ，

Q AM / /CN ， BG / / AM ，
\CN / / BG ，
\ÐC = ÐCBG ，
\ ÐABD = ÐC ；



（3）如图 3，过点 B 作 BG / / DM ，
Q BF 平分 ÐDBC ， BE 平分 ÐABD ，
\ ÐDBF = ÐCBF ， ÐDBE = ÐABE ，
由（2）可得 ÐABD = ÐCBG ，
\ ÐABF = ÐGBF ，

设 ÐDBE = a ， ÐABF = b ，则

ÐABE = a ，ÐABD = 2a = ÐCBG ，ÐGBF = b = ÐAFB ，ÐBFC = 3ÐDBE = 3a ，

\ÐAFC = 3a + b ，

Q ÐAFC + ÐNCF = 180° ， ÐFCB + ÐNCF = 180° ，

\ÐFCB = ÐAFC = 3a + b ，

DBCF 中，由 ÐCBF + ÐBFC + ÐBCF = 180° ，可得

(2a + b ) + 3a + (3a + b ) = 180°，①

由 AB ^ BC ，可得

b + b + 2a = 90° ，②

由①②联立方程组，解得 a = 15° ，


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\ ÐABE = 15°，
\ ÐEBC = ÐABE + ÐABC = 15° + 90° = 105°．











【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造

内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，

常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．

2．如图， AD 是 DABC 的角平分线，点 E 在 BC 上．点 G 在 CA 的延长线上， EG 交 AB 于

点 F ， ÐAFG = ÐG ，求证： GE / / AD ．












【考点】 J 9 ：平行线的判定

【专题】55：几何图形

【分析】首先根据角平分线的性质可得 ÐBAC = 2ÐDAC ，再根据三角形外角与内角的关系

可 得 ÐG + ÐG F A = ÐB A ， 又 ÐA F G= Ð G． 进 而 得 到 ÐBAC = 2ÐG ， 从 而 得 到

ÐDAC = ÐG ，即可判定出 GE / / AD ．

【解答】证明：Q AD 是 ÐCAB 的平分线，

\ÐBAC = 2ÐDAC ，

Q ÐG + ÐGFA = ÐBAC ， ÐAFG = ÐG ．

\ÐBAC = 2ÐG ，

\ÐDAC = ÐG ，

\ AD / /GE ．

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线

的判定定理．

第 14 页（共 40 页）

C








3．阅读下列材料：

已知：如图 1，直线 AB / /CD ，点 E 是 AB 、CD 之间的一点，连接 BE 、DE 得到 ÐBED ．求

证 ： ÐB E D= Ð B + ÐD． 小 冰 是 这 样 做 的 ： 证 明 ： 过 点 E 作 EF / / AB ， 则 有

ÐBEF = ÐB ．Q AB / /CD ，\ EF / /CD ．\ÐFED = ÐD ．\ÐBEF + ÐFED = ÐB + ÐD ．图

1 即 ÐBED = ÐB + ÐD ．

请利用材料中的结论，完成下面的问题：

已知：直线 AB / /CD ，直线 MN 分别与 AB 、 CD 交于点 E 、 F ．

（1）如图 2， ÐBEF 和 ÐEFD 的平分线交于点 G ．猜想 ÐG 的度数，并证明你的猜想；

（2）如图 3，EG1 和 EG2 为 ÐBEF 内满足 Ð1 = Ð2 的两条线，分别与 ÐEFD 的平分线交于点

G1 和 G2 ．求证： ÐFG1E + ÐG2 = 180° ．













【考点】 JB ：平行线的判定与性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线

【分析】 1）由材料中的结论得 ÐEGF = ÐBEG + ÐGFD ，根据 EG 、FG 分别平分 ÐBEF 和

ÐEFD ，得到 ÐBEF = 2ÐBEG ，ÐEFD = 2ÐGFD ，由于 BE / /CF 到 ÐBEF + ÐEFD = 180° ，

于是得到 2ÐBEG + 2ÐGFD = 180° ，即可得到结论；

（2）过点 G1 作 G1H / / AB ，由结论可得 ÐG2 = Ð1 + Ð3 ， ÐEG1F = ÐBEG1 + ÐG1FD ，得到

Ð3 = ÐG2 FD ，由于 FG2 平分 ÐEFD ，求得 Ð4 = ÐG2 FD，由于 Ð1 = Ð2 ，于是得到


ÐG2 = Ð2 + Ð4

，

由

于

ÐE


1


G

= F

Ð1


B

，

得

到 G


F


D


ÐEG1F + ÐG = Ð2 + Ð4 + ÐBEG + ÐG FD = ÐBEF +1ÐEFD ，然后根据平行线的性质即

可得到结论．

【解答】解：（1）如图 2 所示，猜想： ÐEGF = 90° ；

证明：由材料中的结论得 ÐEGF = ÐBEG + ÐGFD ，

第 15 页（共 40 页）
（
+1E
GÐ
2 1








Q EG 、 FG 分别平分 ÐBEF 和 ÐEFD ，

\ÐBEF = 2ÐBEG ， ÐEFD = 2ÐGFD ，

Q BE / /CF ，

\ÐBEF + ÐEFD = 180° ，

\2ÐBEG + 2ÐGFD = 180° ，

\ÐBEG + ÐGFD = 90° ，

Q ÐEGF = ÐBEG + ÐGFD ，

\ÐEGF = 90° ；



（2）证明：如图 3，过点 G1 作 G1H / / AB ，

Q AB / /CD ，\G1H / /CD ，

由结论可得 ÐG2 = Ð1 + Ð3 ， ÐEG1F = ÐBEG1 + ÐG1FD ，

\Ð3 = ÐG2 FD ，

Q FG2 平分 ÐEFD ，

\Ð4 = ÐG2 FD ，

Q Ð1 = Ð2 ，

\ÐG2 = Ð2 + Ð4 ，

Q ÐEG1F = ÐBEG1 + ÐG1FD ，

\ÐEG1F + ÐG2 = Ð2 + Ð4 + ÐBEG1 + ÐG1FD = ÐBEF + ÐEFD ，

Q AB / /CD ，

\ÐBEF + ÐEFD = 180° ，

\ÐEG1F + ÐG2 = 180° ．











第 16 页（共 40 页）


































【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的

关键．

4．（1）问题情境：如图 1， AB / /CD ， ÐPAB = 130° ， ÐPCD = 120° ．求 ÐAPC 的度数．

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图 2，过 P 作 PE / / AB ，\ÐAPE + ÐPAB = 180° ．

\ÐAPE = 180° - ÐPAB = 180° - 130° = 50° ．

Q AB / /CD ．\ PE / /CD ．
¼¼¼¼

请你帮助小明完成剩余的解答．

（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图 3， AD / / BC ，点 P 在射线 OM 上运动， ÐADP = Ða ， ÐBCP = Ðb ．
①当点 P 在 A 、 B 两点之间时， ÐCPD ， Ða ， Ðb 之间有何数量关系？请说明理由．
②当点 P 在 A 、 B 两点外侧时（点 P 与点 O 不重合），请直接写出 ÐCPD ， Ða ， Ðb 之间

的数量关系．











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【考点】38：规律型：图形的变化类； JB ：平行线的判定与性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线

【分析】1）过 P 作 PE / / AB ，构造同旁内角，通过平行线性质，可得 ÐAPC = 50° + 60° = 110° ．

（2）过 P 作 PE / / AD 交 CD 于 E ，推出 AD / / PE / / BC ，根据平行线的性质得出 Ða = ÐDPE ，
Ðb = ÐCPE ，即可得出答案；

（3）画出图形，分两种情况：①点 P 在 BA 的延长线上，②点 P 在 AB 的延长线上，根据平
行线的性质得出 Ða = ÐDPE ， Ðb = ÐCPE ，即可得出答案．

【解答】解：（1）剩余过程：\ÐCPE + ÐPCD = 180° ，

\ÐCPE = 180° - 120° = 60° ，

\ÐAPC = 50° + 60° = 110° ；
（2） ÐCPD = Ða + Ðb ，理由如下：

如图 3，过 P 作 PE / / AD 交 CD 于 E ，

Q AD / / BC ，

\ AD / / PE / / BC ，
\Ða = ÐDPE ， Ðb = ÐCPE ，
\ÐCPD = ÐDPE + ÐCPE = Ða + Ðb ；















（3）当 P 在 BA 延长线时， ÐCPD = Ðb - Ða ；理由：

如图 4，过 P 作 PE / / AD 交 CD 于 E ，

Q AD / / BC ，

第 18 页（共 40 页）

（








\ AD / / PE / / BC ，
\Ða = ÐDPE ， Ðb = ÐCPE ，
\ÐCPD = ÐCPE - ÐDPE = Ðb - Ða ；
















当 P 在 BO 之间时， ÐCPD = Ða - Ðb ．理由：

如图 5，过 P 作 PE / / AD 交 CD 于 E ，

Q AD / / BC ，

\ AD / / PE / / BC ，
\Ða = ÐDPE ， Ðb = ÐCPE ，
\ÐCPD = ÐDPE - ÐCPE = Ða - Ðb ．
















【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关

键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．


5．如图 1，在 DABC 中，BE 平分 ÐABC ，CE 平分 ÐACB ，若 ÐA = 82° ，则 ÐBEC =

若 ÐA = a° ，则 ÐBEC =
-16．

131°

；


【探究】

（1）如图 2，在 DABC 中，BD ，BE 三等分 ÐABC ，CD ，CE 三等分 ÐACB ，若 ÐA = a° ，


则 ÐBEC =

；




第 19 页（共 40 页）









（2）如图 3，O 是 ÐABC 与外角 ÐACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析 ÐBOC 和 ÐA 有

怎样的关系？请说明理由；

（3）如图 4，O 是外角 ÐDBC 与外角 ÐBCE 的平分线 BO 和 CO 的交点，则 ÐBOC 与 ÐA 有

怎样的关系？请说明理由．










【考点】 K 7 ：三角形内角和定理； K8 ：三角形的外角性质

【专题】552：三角形

【分析】问题：利用三角形的内角和等于180° 求出 ÐABC + ÐACB ，再利用角平分线的定义

求出 ÐEBC + ÐECB ，然后根据三角形的内角和等于180° 列式计算即可得解；将 ÐA 的度

数换成 a° ，然后求解即可；

探究：（ 1）利用三角形的内角和等于 180° 求出 ÐABC + ÐACB，再利用三等分角求出

ÐEBC + ÐECB ，然后根据三角形的内角和等于180° 列式计算即可得解；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出 ÐACD 和 ÐOCD ，再根

据角平分线的定义可得 ÐABC = 2ÐOBC ， ÐACD = 2ÐOCD ，然后整理即可得解；

（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出 ÐOBC 和 ÐOCB ，然后根据三角形的内角

和定理列式表示出 ÐBOC ，然后整理即可得解．

【解答】解：Q ÐA = 82° ，

\ÐABC + ÐACB = 180° - ÐA = 180° - 82° = 98° ，

Q BE 平分 ÐABC ， CE 平分 ÐACB ，

1 1
2 2
1 1
2 2
\ÐBEC = 180° - (ÐEBC + ÐECB) = 180° - 49° = 131° ；

由三角形的内角和定理得， ÐABC + ÐACB = 180° - ÐA = 180° - a° ，

Q BE 平分 ÐABC ， CE 平分 ÐACB ，

1 1
2 2


第 20 页（共 40 页）
EBC ABC\Ð = Ð ， ECB ACBÐ = Ð ，
( ) 98 49EBC ECB ABC ACB\Ð + Ð = Ð + Ð = ´ ° = ° ，
EBC ABC\Ð = Ð ， ECB ACBÐ = Ð ，








1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
1
2
探究：（1）由三角形的内角和定理得， ÐABC + ÐACB = 180° - ÐA = 180° - a° ，

Q BD ， BE 三等分 ÐABC ， CD ， CE 三等分 ÐACB ，

2 2
3 3
2 2 2
3 3 3
2 2
3 3
2
3
1
2
理由如下：由三角形的外角性质得， ÐACD = ÐA + ÐABC ，

ÐOCD = ÐBOC + ÐOBC ，

Q O 是 ÐABC 与外角 ÐACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，

\ÐABC = 2ÐOBC ， ÐACD = 2ÐOCD ，
\ÐA + ÐABC = 2(ÐBOC + ÐOBC) ，

\ÐA = 2ÐBOC ，

1
2
1
2
理由如下：Q O 是外角 ÐDBC 与外角 ÐBCE 的平分线 BO 和 CO 的交点，

1 1 1 1
2 2 2 2

在
DOBC
中
，


ÐB

1

O = 8

1
2

C

0°

1
2

- O

，

由三角形的内角和定理得， ÐABC + ÐACB = 180° - ÐA ，

1 1
2 2

第 21 页（共 40 页）\ÐEBC + ÐECB = (ÐABC + ÐACB) = ´ (180° - a°) = 90° - a° ，
\ÐBEC = 180° - (ÐEBC + ÐECB) = 180° - (90° - a°) = 90° + a° ；
故答案为：131° ， 90° + a° ；
\ÐEBC = ÐABC ， ÐECB = ÐACB ，
\ÐEBC + ÐECB = (ÐABC + ÐACB) = ´ (180° - a°) = 120° - a° ，
\ÐBEC = 180° - (ÐEBC + ÐECB) = 180° - (120° - a°) = 60° + a° ；
故答案为： 60° + a° ；
（2） ÐBOC = ÐA ．
\ÐBOC = ÐA ；
（3） ÐBOC = 90° - ÐA ．
\ÐOBC = (180° - ÐABC) = 90° - ÐABC ， ÐOCB = (180° - ÐACB) = 90° - ÐACB ，
\ÐBOC = (180° - ÐA) = 90° - ÐA ．








【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

6．如图①，在 DABC 中， ÐABC 与 ÐACB 的平分线相交于点 P ．

（1）如果 ÐA = 80° ，求 ÐBPC 的度数；
（2）如图②，作 DABC 外角 ÐMBC ， ÐNCB 的角平分线交于点 Q ，试探索 ÐQ 、 ÐA 之间

的数量关系．

（3）如图③，延长线段 BP 、 QC 交于点 E ， DBQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 2

倍，求 ÐA 的度数．
















【考点】 K 7 ：三角形内角和定理； K8 ：三角形的外角性质

【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 Ð1 + Ð2 ，进而求出

ÐBPC 即可解决问题；

（2）根据三角形的外角性质分别表示出 ÐMBC 与 ÐBCN ，再根据角平分线的性质可求得
ÐCBQ + ÐBCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；

1 1
2 2
中，存在一个内角等于另一个内角的 2 倍，那么分四种情况进行讨论： ①
ÐEBQ = 2ÐE = 90° ；② ÐEBQ = 2ÐQ = 90° ；③ ÐQ = 2ÐE ；④ ÐE = 2ÐQ ；分别列出方

程，求解即可．

【解答】（1）解：Q ÐA = 80° ．

\ÐABC + ÐACB = 100° ，

Q 点 P 是 ÐABC 和 ÐACB 的平分线的交点，

1 1
2 2
（2）Q 外角 ÐMBC ， ÐNCB 的角平分线交于点 Q ，

第 22 页（共 40 页）
（3）在 BQED 中，由于 90Q AÐ = ° - Ð ，求出 E AÐ = Ð ， 90EBQÐ = ° ，所以如果 BQED
180 ( ) 180 100 130P ABC ACB\Ð = ° - Ð + Ð = ° - ´ ° = ° ，








1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
（3）Q CQ 为 DABC 的外角 ÐNCB 的角平分线，

\CE 是 DABC 的外角 ÐACF 的平分线，

\ÐACF = 2ÐECF ，

Q BE 平分 ÐABC ，

\ÐABC = 2ÐEBC ，

Q ÐECF = ÐEBC + ÐE ，

\2ÐECF = 2ÐEBC + 2ÐE ，

即 ÐACF = ÐABC + 2ÐE ，

又Q ÐACF = ÐABC + ÐA ，

1
2
Q ÐEBQ = ÐEBC + ÐCBQ

1 1
2 2
1
2
如果 DBQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 2 倍，那么分四种情况：

① ÐEBQ = 2ÐE = 90° ，则 ÐE = 45° ， ÐA = 2ÐE = 90° ；

② ÐEBQ = 2ÐQ = 90° ，则 ÐQ = 45° ， ÐE = 45° ， ÐA = 2ÐE = 90° ；

1
2
1 1
2 2
综上所述， ÐA 的度数是 90° 或 60° 或120° ．






第 23 页（共 40 页）( )QBC QCB MBC NCB\Ð + Ð = Ð + Ð
(360 )ABC ACB= ° - Ð - Ð
(180 )A= ° + Ð
90 A= ° + Ð
90Q A\Ð = ° - Ð ；
2A E\Ð = Ð ，即 E AÐ = Ð ；
ABC MBC= Ð + Ð
( ) 90ABC A ACB= Ð + Ð + Ð = ° ．
③ 2Q EÐ = Ð ，则 90 A A° - Ð = Ð ，解得 60AÐ = ° ；
④ 2E QÐ = Ð ，则 2(90 )A AÐ = ° - Ð ，解得 120AÐ = ° ．
























【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知

识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．


7．已知 5a = 2b = 10 ，求

1 1
a b

的值．

【考点】47：幂的乘方与积的乘方

【专题】51：数与式

【分析】想办法证明 ab = a + b 即可．

【解答】解：Q 5a = 2b = 10 ，

a b


\5ab = 10b ， 2ab = 10a ，

\5ab g2ab = 10b g10a ，

\10ab = 10a+b ，
\ab = a + b ，


\
1 1 a + b
a b ab

【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中档题目．

8．若 m 、 n 满足 | m - 3 | +(n + 2016)2 = 0 ，求 m-1 + n0 的值．

【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F ：非负数的性质：偶次方；6E ：零指数幂；6F ：

负整数指数幂

【专题】11：计算题

【分析】首先根据 | m - 3 | +(n + 2016)2 = 0 ，可得 | m - 3 |= 0 ，n + 2016 = 0 ，据此分别求出 m 、

n 的值各是多少；然后把求出的 m 、 n 的值代入 m-1 + n0 ，求出算式的值是多少即可．

第 24 页（共 40 页）
+
\(5 )b = 10b ， (2 )a = 10a ，
+ = = 1，









【解答】解：Q| m - 3 | +(n + 2016) 2 = 0 ，

\| m - 3 |= 0 ， n + 2016 = 0 ，

解得 m = 3 ， n = -2016 ，

\m-1 + n0

= 3-1 + (-2016)0


=

1
3

+ 1


= 1
1
3

1
3
【点评】 1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：


① a- p =

1
a p

(a ¹ 0 ， p 为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的

意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① a0 = 1(a ¹ 0) ；

② 00 ¹ 1．

（3）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当 a 是

正有理数时，a 的绝对值是它本身 a ；②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数 -a ；

③当 a 是零时， a 的绝对值是零．

（4）此题还考查了偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．

9．分类讨论

已知 ( x -1) x+6 = 1，求 x 的值．

【考点】1E ：有理数的乘方； 6E ：零指数幂

【分析】结合零指数幂的概念： a0 = 1(a ¹ 0) ，进行求解即可．

【解答】解：分类讨论：

（1）当 x -1 = 1时， x = 2 ，此时 (2 -1)2+6 = 1成立；

（2）当 x -1 = -1时， x = 0 ，此时 (0 -1)0+6 = 1成立；

（3）当 x + 6 = 0 时， x = -6，此时 (-6 -1)-6+6 = 1成立．


第 25 页（共 40 页）答： m-1 + n0 的值是1 ．
（








综上所述， x 的值为：2，0， -6 ．

【点评】本题考查了零指数幂，解答本题的关键在于熟练掌握该零指数幂的概念：

a0 = 1(a ¹ 0) ．

2


【考点】47：幂的乘方与积的乘方

【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．

2 8n 8


Q an = -1， b2n = 3，
\原式 = 9 ．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运

算法则．

11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图 1

可以得到 (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 ，请解答下列问题：












（1）写出图 2 中所表示的数学等式











(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc











．


（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：


若 a + b + c = 10 ， ab + ac + bc = 35 ，则 a2 + b2 + c2 =

．


（4）小明同学用图 3 中 x 张边长为 a 的正方形， y 张边长为 b 的正方形 z 张边长分别为 a 、


b 的长方形纸片拼出一个面积为 (5a + 7b)(9a + 4b) 长方形，则 x + y + z =

．


【考点】 4B ：多项式乘多项式； 4D ：完全平方公式的几何背景

【专题】512：整式

【分析】 1）依据正方形的面积 = (a + b + c)2 ；正方形的面积 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ，

可得等式；

（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；
第 26 页（共 40 页）
10．已知 an = -1， b2n = 3，求 (-a b)4n 的值．
【解答】解： (-a b)4n = a b4n = (a n ) (b2n )2 ，
（









（3）依据 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2ab - 2ac - 2bc ，进行计算即可；


（


4

）

依

据

所

拼

图

形

的

面

积

为

：

xa2 + yb2 + zab

，

而


( a 5+


b 7

+)a (

9=b2

4 a+ )

4 a+ 5 b2

+ a 0 b = 6 ，即可得到 x ，y ，z 的 5 a


b 2


8


值．

【解答】解： 1） 正方形的面积 = (a + b + c)2 ；正方形的面积 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ．

\ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ．

故答案为： (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ．

（2）证明： (a + b + c)(a + b + c) ，

= a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 ，

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ．

（3） a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2ab - 2ac - 2bc ，

= 102 - 2(ab + ac + bc) ，

= 100 - 2 ´ 35 ，

= 30 ．

故答案为：30；

（4）由题可知，所拼图形的面积为： xa2 + yb2 + zab ，

Q (5a + 7b)(9a + 4b) ，

= 45a2 + 20ab + 63ab + 28b2 ，

= 45a2 + 28b2 + 83ab ，
\ x = 45 ， y = 28 ， z = 83 ．

\ x + y + z = 45 + 28 + 83 = 156 ．

故答案为：156．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路

表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．

12．先化简，再求值：当 | x - 2 | +( y + 1)2 = 0 时，求 [(3x + 2 y)(3x - 2 y) + (2 y + x)(2 y - 3x)] ¸ 4x

的值．

第 27 页（共 40 页）2 2 2b 3 + 2 +8 b 4a
（ Q








【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F ：非负数的性质：偶次方； 4J ：整式的混合运算

- 化简求值

【专题】11：计算题

【分析】根据 | x - 2 | +( y + 1)2 = 0 可以起的 x 、y 的值，然后将题目中所求式子化简，再将 x 、

y 的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：Q| x - 2 | +( y +1) 2 = 0 ，

\ x - 2 = 0 ， y + 1 = 0 ，

解得， x = 2 ， y = -1 ，

\[(3x + 2 y)(3x - 2 y) + (2 y + x)(2 y - 3x)] ¸ 4x

= (9x2 - 4 y 2 + 4 y 2 - 6xy + 2xy - 3x2 ) ¸ 4x

= (6x2 - 4xy) ¸ 4x

= 1.5x - y

= 1.5 ´ 2 - (-1)

= 3 + 1

= 4 ．

【点评】本题考查整式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确整式化简求值的

方法，利用非负数的性质解答．

13．如图 1 是一个长为 2a ，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方

形，然后按如图 2 的形状拼成一个正方形．


（1）图 2 的阴影部分的正方形的边长是
a - b

．


（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．


【方法 1】 S阴影 =

【方法 2】 S阴影 =

；

；


（3）观察如图 2，写出 (a + b)2 ， (a - b)2 ， ab 这三个代数式之间的等量关系．

（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：

若 x + y = 10 ， xy = 16 ，求 x - y 的值．



第 28 页（共 40 页）


























【考点】 4D ：完全平方公式的几何背景
【分析】（1）观察图意直接得出正方形的边长是 a - b ；

（2）利用大正方形的面积减去 4 个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件

求出小正方形的面积；

（3）把（2）中的两个代数式联立即可；

（4）类比（3）求出 (x - y)2 ，再开方即可．

【解答】解：（1） a - b ；

（2）方法1: S阴影 = (a - b)2 ，

方法 2 : S阴影 = (a + b)2 - 4ab ；

（3） (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab ；

（4）Q x + y = 10 ， xy = 16 ，

\(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = 102 - 4 ´14 = 36 ，

\ x - y = ±6．

【点评】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式

求值的问题，属于基础题型．

14．我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，

有助于探索解决问题的思路．

（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图 1 所示，将边长为 a 的大正方形剪去

一个边长为 b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图 2，显然图 1 中的图形与

第 29 页（共 40 页）









图 2 中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是

（2）计算： (x + a)(x + b) =
-20；请画图说明这个等式．








(a + b)(a - b) = a 2 - b2








．














【考点】 4B ：多项式乘多项式； 4G ：平方差公式的几何背景

【专题】512：整式

【 分 析 】（ 1 ） 依 据 图 形 面 积 = a2 - b2 ， 图 形 面 积 = (a + b)(a - b) ， 即 可 得 到

(a + b)(a - b) = a 2 - b2 ；

（ 2 ） 依 据 图 形 面 积 = (x + a)(x + b) ， 图 形 面 积 = x2 + ax + bx + ab ， 即 可 得 出

(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab ．

【解答】解：（1）由图 1 可得，图形面积 = a2 - b2 ，
由图 2 可得，图形面积 = (a + b)(a - b) ，

\(a + b)(a - b) = a 2 - b2

故答案为： (a + b)(a - b) = a 2 - b2 ；

（2） (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab ，

证明：如图所示，图形面积 = (x + a)(x + b) ，

图形面积 = x2 + ax + bx + ab ，

\(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab ，










故答案为： x2 + ax + bx + ab ．

第 30 页（共 40 页）









【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，把阴影部分的面积用不同的方法表示是解答此

类题目的关键．

15．发现与探索．

（1）根据小明的解答将下列各式因式分解

小明的解答： a2 - 6a + 5 = a2 - 6a + 9 - 9 + 5 = (a - 3)2 - 4 = (a - 5)(a -1)

① a2 -12a + 20

② (a -1)2 - 8(a -1) + 7

③ a2 - 6ab + 5b2















（2）根据小丽的思考解决下列问题：

小丽的思考：代数式 (a - 3)2 + 4 无论 a 取何值 (a - 3)2 都大于等于 0，再加上 4，

则代数式 (a - 3)2 + 4 大于等于 4，则 (a - 3)2 + 4 有最小值为 4．

①说明：代数式 a2 -12a + 20 的最小值为 -16 ．

② 请 仿 照 小 丽 的 思 考 解 释 代 数 式 -(a + 1)2 + 8 的 最 大 值 为 8 ， 并 求 代 数 式

-a 2 +12a - 8 的最大值．

【考点】1F ：非负数的性质：偶次方；59：因式分解的应用

【专题】11：计算题

【分析】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；

（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非

负性解答．

【解答】解：（1）① a2 -12a + 20


第 31 页（共 40 页）









= a2 -12a + 36 - 36 + 20

= (a - 6)2 - 42

= (a -10)(a - 2) ；

② (a -1)2 - 8(a -1) + 12

= (a -1)2 - 8(a -1) +16 -16 +12

= (a - 5)2 - 22

= (a - 7)(a - 3) ；

③ a2 - 6ab + 5b2

= a 2 - 6ab + 9b2 - 9b2 + 5b2

= (a - 3b)2 - 4b2

= (a - 5b)(a - b) ；

（2）① a2 -12a + 20

= a2 -12a + 36 - 36 + 20

= (a - 6)2 -16，

无论 a 取何值 (a - 6)2 都大于等于 0，再加上 -16 ，

则代数式 (a - 6)2 -16 大于等于 -16 ，

则 a2 -12a + 20 的最小值为 -16 ；

②无论 a 取何值 -(a +1)2 都小于等于 0，再加上 8，

则代数式 -(a + 1)2 + 8 小于等于 8，

则 -(a + 1)2 + 8 的最大值为 8，

-a 2 +12a - 8 ．

= -(a2 -12a + 8)


第 32 页（共 40 页）







= -(a2 -12a + 36 - 36 + 8)

= -(a - 6)2 + 36 - 8

= -(a - 6)2 + 28

无论 a 取何值 -(a - 6)2 都小于等于 0，再加上 28，

则代数式 -(a - 6)2 + 28小于等于 28，

则 -a 2 +12a - 8 的最大值为 28．

【点评】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、

平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．

16．（1）计算并观察下列各式：


第 1 个： (a - b)(a + b) =

a2 - b2

；


第 2 个： (a - b)(a2 + ab + b2 ) =

；


2

；


¼¼

这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．


（

2

）

猜

想

：

若

n

为

大

于

1

的

正

整

数

，

则


n-2 n-3 2

；


（3）利用（2）的猜想计算： 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ¼¼+ 23 + 22 + 1 =

．


（4）拓广与应用： 3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + ¼¼+ 33 + 32 + 1 =

．


【考点】37：规律型：数字的变化类； 4B ：多项式乘多项式； 4F ：平方差公式

【专题】 2 A：规律型；51：数与式

【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；

（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为 a 、 b 两数 n 次幂的差；


（

3

）

将

原

式

变

形

为


2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ¼¼ + 23 + 22 + 1 == (2 - 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ¼¼ + 23 + 22 + 1) ，再利用

所得规律计算可得；


（

4

）

将

原

式

变

形

为


第 33 页（共 40 页）第 3 个： (a - b)(a 3 + a b + ab 2 + b 3 ) =
(a - b)(an-1 + a b + a b2 + ¼¼ + a bn-3 + abn-2 + bn-1 ) =








3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + ¼¼ + 33 + 32 + 1 =







1
2







´ (3 - 1)(3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + ¼¼ + 33 + 32 + 1) ，再利用

所得规律计算可得．

【解答】解：（1）第 1 个： (a - b)(a + b) = a 2 - b2 ；

第 2 个： (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 ；

2


故答案为： a2 - b2 、 a3 - b3 、 a4 - b4 ；




（



2



）



若



n



为



大



于



1



的



正



整



数



，



则


n-2 n-3 2


故答案为： an - bn ；



（3） 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ¼¼+ 23 + 22 + 1 =

= (2 - 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ¼¼ + 23 + 22 + 1)

= 2n - 1n
= 2n - 1，

故答案为： 2n - 1 ．



（4） 3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + ¼¼+ 33 + 32 + 1


=

=
1
2
1
2

´ (3 - 1)(3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + ¼¼ + 33 + 32 + 1)


n


=
3n - 1
2

，


故答案为：
3n - 1
2

．

【点评】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．








第 34 页（共 40 页）第 3 个： (a - b)(a 3 + a b + ab 2 + b 3 ) = a 4 - b 4 ；
(a - b)(an-1 + a b + a b2 + ¼¼ + a bn-3 + abn-2 + bn-1 ) = a n - bn ，
´ (3n - 1 )








考点卡片

1．非负数的性质：绝对值

任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项都

必须等于 0．

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

2．有理数的乘方

（1）有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方．

n n n

a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂．）

（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

0 的任何正整数次幂都是 0．

（3）方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂

的绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘

除，最后做加减．









3．非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性．

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为 0 时，则其中的每一项都

必须等于 0．

4．规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．

（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．

第 35 页（共 40 页）
乘方的结果叫做幂，在 a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．a 读作 a 的 n 次方．（将 a 看作是








5．规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

6．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

m n mn

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

n n n

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果．

7．多项式乘多项式

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积

相加．

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，

在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

8．完全平方公式的几何背景

（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释．

（2）常见验证完全平方公式的几何图形














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（a ） ＝a （m，n 是正整数）
（ab） ＝a b （n 是正整数）








2 2 2

宽分别是 a，b 的长方形的面积和作为相等关系）

9．平方差公式

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

2 2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以

多项式法则简便．

10．平方差公式的几何背景

（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证

平方差公式）．


















（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平

方差公式做出几何解释．

11．整式的混合运算—化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合

运算顺序相似．

12．因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题．

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（a+b） ＝a +2ab+b ． 用大正方形的面积等于边长为 a 和边长为 b 的两个正方形与两个长
（
（a+b）（a﹣b）＝a ﹣b








2、利用因式分解解决证明问题．

3、利用因式分解简化计算问题．

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代

入．

2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分．

13．零指数幂

0

m m m m m﹣m 0 0

0

14．负整数指数幂

﹣p

注意：①a≠0；

﹣2

3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

15．余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是

另一个角的余角．

（2）补角：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是

另一个角的补角．

（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足

了定义，则它们就具备相应的关系．

16．平行线的判定

（1）定理 1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：
第 38 页（共 40 页）零指数幂：a ＝1（a≠0）
由 a ÷a ＝1，a ÷a ＝a
＝a 可推出 a ＝1（a≠0）
注意：0 ≠1．
负整数指数幂：a ＝1ap（a≠0，p 为正整数）
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3） ＝（﹣








同位角相等，两直线平行．

（2）定理 2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：

内错角相等，两直线平行．

（3 ）定理 3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单

说成：同旁内角互补，两直线平行．

（4）定理 4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

（5）定理 5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

17．平行线的判定与性质

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系

来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

18．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于 0°且小于 180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在

转化中借助平行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关

系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

19．三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为 360°．
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②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角．

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日期：2019/3/1517:10:59；用户：荔枝；邮箱：13656173158；学号：20315517






















































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