二次函数图像性质(中上)-无答案学案
展开1. 开口方向和大小——a决定
(1)决定了抛物线开口的方向:时,图像开口向上;时,图像开口向下。
(2)的大小决定开口的大小:越大,图像开口越小;越小,图像开口越大。
2. 对称轴——a、b共同决定。 对称轴:;
若 ,则对称轴在轴左边则,若 ,则对称轴在轴的右侧。
当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=-1时,可确定a-b+c的符号.
由对称轴公式,可确定2a+b或2a—b的符号.
3. 抛物线与轴交点的位置——c决定
C为抛物线与轴交点的纵坐标。C>0 ,交点在y轴正半轴;C<0 ,交点在y轴的负半轴。
4.抛物线与x轴交点的个数——b2-4ac的符号确定
2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0
5.抛物线顶点——a、b、c共同决定。
(1)当时 ,抛物线有最低点,坐标为
(2)当时 ,抛物线有最高点,坐标为
(2)二次函数图像性质
二、典例精讲
图像性质——抓住a、b、c
1.如图,二次函数的图像与轴正半轴相交,其顶点坐标为(),下列结论:①;②; ③;④.其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0②b<a+c③4a+2b+c>0④2c<3b ⑤a+b>m(am+b),(m≠1的实数)其中正确的结论的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
3.(2018•山东菏泽•3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
B.C.D.
4.(2018·山东潍坊·3分)已知二次函数y=﹣(x﹣h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为( )
A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6
5.(2018·南京)已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方?
应用二次函数解决抛物线型实际问题
(2018年四川省巴中市)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A.此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B.篮圈中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
D.篮球出手时离地面的高度是2m
(2018年四川省绵阳市)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加 m.
应用二次函数解决利润最大问题
1.(2018年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田市)绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出.如图,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系.
(1)求该产品销售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数关系式;
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系式;
(3)当产量为多少时,这种产品获得的利润最大?最大利润为多少?
2(2018年浙江省台州市)某药厂销售部门根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测,井建立如下模型:设第t个月该原料药的月销售量为P(单位:吨),P与t之间存在如图所示的函数关系,其图象是函数P=(0<t≤8)的图象与线段AB的组合;设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q(单位:万元),Q与t之间满足如下关系:Q=
(1)当8<t≤24时,求P关于t的函数解析式;
(2)设第t个月销售该原料药的月毛利润为w(单位:万元)
①求w关于t的函数解析式;
②该药厂销售部门分析认为,336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围,求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值.
三、巩固练习
1. 小明从图所示的二次函数的图象中,观察得出了下面五条信息:①;②;③;④;⑤,你认为其中正确信息的个数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5
2. 已知二次函数()的图象如图所示,有下列4个结论:①;②;③;④;其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
-1
O
x=1
y
x
3. (2018·山东威海·3分)如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是( )
A.当小球抛出高度达到7.5m时,小球水平距O点水平距离为3m
B.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C.小球落地点距O点水平距离为7米
D.斜坡的坡度为1:2
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则线段PQ的最小值是( )
A.20cm B.18cm C.2cm D.3cm
51、如图,是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分, 给出下列命题 :①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是 .(只要求填写正确命题的序号)
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于(-2,0),(x, 0)1
8.如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为______.
9.(2018·杭州)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个,求该二次函数的表达式.
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
10. 如图所示,电源电压U保持不变,当滑动变阻器的滑片P从中点c移到b时,电压表前后示数之比为1.4:1.
求:(1)若变阻器总电阻Rab=48Ω,则电阻R的阻值是多少?
(2)若电源电压为12V,则在滑动变阻器的滑片P从a移到b的过程中,会使变阻器上消耗的功率最大,这个最大值是多少?
11. (2018•山东滨州•12分)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
12. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价,而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
13. 定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x﹣1,它们的相关函数为y=.
(1)已知点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值;
(2)已知二次函数y=﹣x2+4x﹣.
①当点B(m,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;
②当﹣3≤x≤3时,求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值.
14.已知:关于的一元二次方程(为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证:无论取何值,抛物线总过 轴上的一个固定点;
(3)若是整数,且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根,
把抛物线向右平移个单位长度,求平移后的解析式.
15. (2018•江苏扬州•10分)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
16.(2018威海)为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业贷款,小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款,已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每月支付其它费用1万元,该产品每月销售量(万件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示.
(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式;
(2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
(,)
当时,随的增大而增大;
当时,随的增大而减小;
当时,有最小值
向下
(,)
当时,随的增大而减小;
当时,随的增大而增大;
当时,有最大值
数学九年级下册5.2 二次函数的图象和性质学案设计: 这是一份数学九年级下册5.2 二次函数的图象和性质学案设计
苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质学案: 这是一份苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质学案,共8页。学案主要包含了知识梳理,自主探索,典例精讲,巩固练习,课后总结等内容,欢迎下载使用。
幂的运算(中上)学案-无答案: 这是一份幂的运算(中上)学案-无答案,共6页。