北师大版 (2019)必修 第二册7.3 正切函数的图象与性质教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册7.3 正切函数的图象与性质教学设计，共15页。


《两角和与差的正切函数》教学设计
◆ 教材分析
教材把两角和与差的正切公式从正弦、 余弦中分离出来， 单独作为一节， 这对学生的自
主探究学习提供了平台． 因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、 余弦公式， 对其应用
学生有了一定的理解， 同时对于三角函数变形中， 角的变换也有了一定的掌握， 因此在本节
课的教学中可以充分利用学生的知识迁移， 更多地让学生自主学习， 独立地推导两角和与差
的正切公式， 为学生提供进一步实践的机会． 也可以说本节并不是什么新的内容， 而是对前
面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，
培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神． 对于公式成立的条件， 可以在学
生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解
决．
在学习两角和与差的正切公式中， 有许多优美的三角恒等式， 包括倍角公式， 半角公式
等．它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形
之美． 本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容， 教学时可以将两角和与差的三角函
数公式作一个小结， 从分析公式的推导过程入手， 探究问题解决的来龙去脉， 揭示它们的逻
辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．
◆ 教学目标
1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差
的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．
2． 通过两角和与差的正切公式的推导及运用， 让学生从中体会转化与化归的思想方法，
培养学生用联系变化的观点观察问题， 通过学生的互相交流增强学生的合作能力， 加强学生
对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．
◆ 教学重难点
◆
教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．
教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．
◆ 教学过程
导入新课
思路 1．（问题导入） 通过前面的学习， 你能否求出 tan15 °的值？学生很容易转化为 30°、
cs( ) cs cs
．
1 tan tan
tan tan
tan（ α- β） =
1 tan tan
tan tan
．
45°的正弦、 余弦来求． 教师进一步提出： 能否直接利用 tan30 和° tan45 来°求出 tan15 呢°？由
此展开新课，探究两角和与差的正切公式．
思路 2． （直接导入）在研究了和与差角 α±β的正弦、余弦与单角 α、 β的正弦、余弦间
的关系后，能否探究出 tan（ α±β）与 tanα、 tan β间的关系？是否与 sin （ α±β）公式相似 ?如
何推导呢 ?由此展开新课，揭示课题．
新知探究
提出问题
①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出
tan30 和° tan45 来°求出 tan15 呢°？
②利用所学两角和与差的公式，对比分析公式
tan15 °的值，那么怎样直接利用
C α- β、 Cα+β、 Sα- β、 Sα+β，能否推导出 tan
（ α- β） =?tan （ α+ β） =?
③分析观察公式 T α- β、 Tα+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
④前面两角和与差的正 ，余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？
活动 ：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式 Cα- β、 C α+ β、 Sα+ β、 Sα- β，可以完全让
学生自己进行探究 tan （ α- β）， tan （ α+β）究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教 师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以 csαcsβ即可得到， 在这一过程中学生很可能想不到讨论 csαcsβ等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让
学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对 csαcsβ讨论如下：
当 cs （ α+ β） ≠0时， tan （ α+ β） = sin( ) sin cs
cs sin
sin sin
若 csαcsβ≠0，即 csα≠0且 csβ≠0时，分子分母同除以 csαcsβ，得
tan（ α+ β） = ．
根据角 α、 β的任意性，在上面的式子中，
tan tan( ) tan
1 tan tan( ) 1 tan
由此推得两角和与差的正切公式，简记为
tan（ α+ β） = ；（T α+ β）
β用- β代之，则有
tan
tan
α- β、 Tα+β”．
sin(
2
2 2 2
1 tan tan
tan tan
tan（ α- β） = ． （T α- β）
我们把公式 Tα+β， Tα- β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过
程可以知道 α、 β， α±β有一定的取值范围， 即 α≠ +k π（k∈Z）， β≠ +k π（k∈Z）， α±β≠ +k π
（ k∈Z），这样才能保证 tan（ α±β）与 tanα， tanβ都有意义．
教师应留出一定的时间让学生回味 ，反思探究过程，点明推导过程的关键是：
tan（ α+ β） →sin （ α+ β）， cs （ α+ β） → sin α、 sin β、 cs α、 csβ→ tanα、 tanβ．我们学习
公式一定要掌握公式成立的条件、 公式的形式及公式的作用三个方面： ①公式成立的条件是
什么 ?（提示学生从公式的形式和推导过程看） tanα、 tanβ、 tan（ α±β）都有意义， 且 1±tanαtanβ≠0；
②注意公式的形式：公式右边分子是单角 α、 β正切的和与差，分母是 1 减（或加）单角 α、
β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符
号相反；③公式的作用：将复角 α±β的正切化为单角 α、 β的正切形式，用于角的变换． （基
本关系式用于三角函数的变形）可用于三角函数的计算、化简、证明．
至此， 我们学完了两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式， 统一叫作三角函数的和差公式． 一
般地，我们把公式 Sα+β， Cα+β， Tα+β都叫作和角公式，而把公式 Sα- β， Cα- β， Tα- β都叫作差角
公式． 要让学生明晰这六个公式的推导过程， 清晰逻辑关系主线． 可让学生自己画出这六个
框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同
时教师应提醒学生注意： 不仅要掌握这些公式的正用， 还要注意它们的逆用及变形用． 如两
角和与差的正切公式的变形式： tan α+tan β=tan （ α+ β） （1-tan αtanβ）， tan α-tan β=tan （ α- β）
（ 1+tan αtanβ）， 在化简求值中就经常用到， 使解题过程大大简化， 也体现了数学的简洁美
及数学公式的魅力． 对于两角和与差的正切公式， 当 tanα， tanβ或 tan（ α±β） 的值不存在时，
不能使用 Tα±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简
tan 的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式
tan（ - β），因为
2
tan（ - β）
2
2 =
cs(
2
) cs 来处理．
) sin
1 tan45 tan15 3
tan 45 tan15 3
1 tan ? tan 1 2
1 tan ? tan 1 2 3
tan tan 2 3
1
讨论结果 ：① — ④略．
应用示例
例 1 已知 tan α=2， tanβ=- 1 ，其中 0＜ α＜ ， ＜ β＜ π．
3 2 2
（ 1）求 tan（ α- β）；（2）求 α+ β的值．
活动： 本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于（ 2）
教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：
由三角函数值求角必先找出所求角的范围．
解： （1）因为已知 tanα=2， tan β=- 1，
3
1
所以 tan （ α- β） = tan tan 2 3 =7．
3
1
（2）因为 tan（ α+ β） = = =1，
又因为 0＜ α＜ ， ＜ β＜ π，所以 ＜ α+β＜ 3 ．
2 2 2 4
在 与 3 之间，只有 5 的正切值等于 1，所以 α+ β= 5 ．
2 4 4 4
例 2 计算 tan15 的值．
1 tan15
活动： 教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用， 难度不大， 可由学生自己完成． 对
部分思路受阻的学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，
马上发现与 T α- β右边形式相近，但需要进行一定的变形，又因 tan45 1 ，原式化为
tan 45 tan15
1 tan 45 tan15
，再逆用公式 Tα- β即可解得．
解： 因为 tan45 °=1，
所以 1 tan15 1 tan15
= =tan （45°-15 °） =tan30 =° ．
点评： 本例体现了对公式全面理解上的要求， 要求学生能够从正、 反两个角度使用公式，
与正用相比， 反用表现的是一种逆向思维， 它不仅要求有一定的反向思维意识， 对思维的灵
活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识．
变式训练
4 5 4
3
4 4
=
3．
1．不查表求 tan105 的°值．
解： tan105 °=tan （60°+45°）
tan60 tan 45
1 tan 60 tan45
3 1
1 3
2
2．不查表，计算： （1） tan22 +°tan23 +°tan22 t°an23 ；°（2）
tan17 t°an43 +°tan17 t°an30 +°tan43 t°an30 °．
解： （1）原式 =tan （22°+23°） ·（ 1-tan22 an23 °） +tan22 °tan23 °
=tan45 °·（ 1-tan22 ta°n23 °） +tan22 t°an23 °
=1．
（2）原式 =tan17 °tan43 °+tan30 °（ tan17 °+tan43 °）
=tan17 t°an43 +°tan30 t°an（17°+43°） （1-tan17 ta°n43 °）
=tan17 t°an43 +°tan30 t°an60 °（ 1-tan17 ta°n43 ）°
=1．
例 3 若 tan （ α+ β） = 2， tan（ β- ） = 1 ，求 tan （ α+ ）的值．
5 4 4 4
活动： 本例是教材和与差角公式的最后一个例题， 需要用到拆角技巧， 对此学生是熟悉
的． 教学时可让学生自己探究解决， 但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某
种特殊的关系，通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动，以实现解题的突破．
解： 因为 α+ = （ α+ β） - （ β- ），
所以 tan （ α+ ） =tan ［（ α+ β） - （ β- ）］
4 4
tan( ) tan( 4 )
= ．
1 tan( ) tan( ) 1 2 1 22
点评： 本题是典型的变角问题， 就是把所求角利用已知角来表示， 具有一定的技巧，这
就需要教师巧妙地引导， 让学生亲自动手进行角的变换， 养学生灵活运用公式的能力．
变式训练
已知 sin α= 2， α∈（ ， π）， csβ=- 3， β∈（ π，
3 2 4
求 tan（ α+ β）．
使之明白此类变角的技巧， 从而培
）．
2
4
3
2
3
（2）已知 sin （ α+ β） = ， sin （ α- β） =
．
，
tan
tan
解： 由 csβ=- 3，
4
∴sin β=- 1 cs2
β∈（ π，
=- 1
( ) 2
sin α= 2， α∈（ ， π），
3 2
7
=- ，
4
3
2
），
csα=- 1 sin 2 a 1 ( ) 2
∴tanβ= 7 ， tan α=- 2 5 ．
3 5
∴tan（ α+ β）
5
3
4． （1）已知 α+ β=45°，求（ 1+tan α） （ 1+tan β）的值．
1 1 ，求 tan ．
2 3 tan
32 5 27 7
17
2 5 7
=
tan tan
1 tan tan
1
2 5 7
5 3
5 3
( )
6 5 5 7
15 2 35
活动 ：对于问题（ 1），教师可与学生一起观察分析已知条件．通过分析题意可知， α+β
是特殊角， 可以利用两角和的正切公式得 tanα， tanβ的关系式， 从而发现所求式子的解题思
路．在问题（ 2）中，我们欲求 tan ，若利用已知条件直接求 tanα， tanβ的值有一定的困
难，但细心观察公式 Sα+β、 Sα- β发现，它们都含有 sin αcsβ和 csαsinβ，而 tan 化切为弦
正是 sin cs ，由此找到解题思路．教学中尽可能地让学生自己探究解决，教师不要及
cs sin
早地给以提示或解答．
解： （1）∵ α+ β=45°，
∴tan（ α+ β） =tan45 °=1．
又∵ tan（ α+ β） = tan 1 tan
tan
tan
∴tan α+tan β=tan （ α+ β） （1-tan αtanβ），
即 tanα+tan β=1-tan αtan β．
∴原式 =1+tan α+tan β+tan αtan β=1+ （1-tan αtanβ） +tan αtanβ=2．
a a
3
（2）∵ sin （ α+ β） = 1， sin （ α- β） = 1，
2 3
∴sin αcsβ+cs αsin β= 1 ．①
2
sin αcs β-cs αsin β= 1 ．②
①+②，得 sin αcs β= 5 ， 12
① -②，得 csαsinβ= 1 ， 12
5
∴ tan tan
sin cs cs sin
12
=5．
1
12
点评 ：本题都是公式的变形应用，像（ 1）中当出现 α+β为特殊角时，就可以考虑逆用
两角和的正切公式的变形式 tanα+tanβ=tan（ α+β） （1-tan αtanβ）， 这个变形式子对我们解题很
有用处．而（ 2）中化切为弦的求法更是巧妙，解完后留出一定的时间让学生认真总结反思，
熟练掌握其变化的思想方法．
变式训练
1．求（ 1+tan1 ）°（1+tan2 °）（1+tan3 °） … （1+tan44 °）（1+tan45 的值．
解： 原式 =［（1+tan1 °）（1+tan44°）］［（ 1+tan2 °）（1+tan43°）］ …［（1+tan22°） （1+tan23°）］
（ 1+tan45°） =2×2×2×…× 22．2
2．计算： tan15 +°tan30 +°tan15 t°an30 °．
解： 原式 =tan45 °（ 1-tan15 an30 °） +tan15 °tan30 °=1．
课堂小结
本节课主要学习的是： 推导了两角和与差的正切公式； 研究了公式成立的条件、 公式的
形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对 “转化 ”数学思想方法的
理解， 掌握探究公式的方法， 学会应用公式的三种基本方式； 通过例题我们对公式不仅要会
正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．
作业
1．已知一元二次方程
解： 由韦达定理，得
ax2+bx+c=0 （ac≠0）的两个根为 tanα， tanβ，求 tan （ α+ β）的值．
tan α+tan β=- b， tan αtan β= c ，
∴tan（ α+ β） = tan a tan a b b
b
1 tan a tan 1 c a c c a ． a
◆ 教学反思
1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和
与差正弦余弦公式的继续， 也注意了复习巩固两角和差公式． 设计意图在于深刻理解公式的
内在联系， 学会综合利用公式解题的方法和技巧． 因此本节课安排的几个例子都是围绕这个
目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给
学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．
2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发
挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思
考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一
题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．总之，本节教案的设计思想
是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体．