高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算学案设计

对数的运算

【学习目标】

1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。

【学习重难点】

1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

【学习过程】

一、初试身手

1．lg 2＋lg 5＝________。

2．若log2＝1，则x＝________。

二、合作探究

1．对数运算性质

【例】求下列算式的值。

2log32－log3＋log38＋3log5。

【规律方法】

对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。

2．对数运算性质的应用

【例】  已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。

求证：＝－。

[思路探究]  令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。

【规律方法】

取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。

【跟踪训练】

已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________。

【学习小结】

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；

(3)loga＝logaM－logaN。

【精炼反馈】

1．(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝________。

2．计算：(1)31＋log3；(2)log2(23×45)

【答案】

[学习过程]

一、1. 1  [lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]

2.   [由＝2⇒2x＝11⇒x＝。]

二、1. [解]原式＝log34－log3＋log38－3log55

＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1．

2. [解]  令3x＝4y＝6z＝m，

则xlg 3＝ylg 4＝zlg 6＝lg m

∴x＝，y＝，z＝，

∴－＝－＝＝。

[跟踪训练] 0  [令315a＝55b＝153c＝m，则15alg 3＝5blg 5＝3clg 15＝lg m

∴a＝，b＝，c＝

∴5ab－bc－3ac＝－－＝

＝＝0]