2021-2022学年浙江省杭州市桐庐中学高二上学期12月阶段性测试数学试题含解析

2021-2022学年浙江省杭州市桐庐中学高二上学期12月

阶段性测试数学试题

一、单选题

1．若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是

A．z的虚部为﹣i B．|z|=2

C．z表示的点在第四象限 D．z的共轭复数为﹣1﹣i

【答案】C

【解析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】∵,

∴z的虚部为；|z|；z表示的点的坐标为,在第四象限；

z的共轭复数为.

故选：C.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的求法,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.

2．函数的部分图象如图所示，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据图象求周期，再求，代入可求得

【详解】解：由图可得，

，，

，，．

故选A．

【点睛】已知函数的图象求解析式

(1).

(2)由函数的周期求

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.

3．已知，，且，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】已知，，且，则.

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查的妙用，考查计算能力，属于基础题.

4．以下四个命题中，正确的是（       ）

A．若，则，，三点共线

B．

C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

D．三角形ABC为直角三角形的充要条件是

【答案】C

【分析】对于三点共线时，；设，则

； 时，为直角，反之也可以是，为直角.

【详解】对于，若，因为，则、、三点不共线，故不正确；

对于， 设，则，故不正确；

对于，向量是空间的一个基底，则不共面，则，，

也不共面，所以能构成空间的另一个基底，故正确；

对于， 时，为直角，故△为直角三角形，即必要性成立，

反之也可以是，为直角，故不正确；

故选:．

5．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（       ）

A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

【答案】A

【解析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.

【详解】由＝1可知，，所以，

所以F1(－3，0)，F2(3，0)，

∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，

所以，所以轴，

∴可设P(3，b)，

把P(3，b)代入椭圆＝1，得.

∴|PF1|＝，|PF2|＝.

∴.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，进而可设P(3，b)是解题关键.

6．已知为直线上的点，过点作圆：的切线，切点为，，若，则这样的点有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．无数个

【答案】B

【分析】求出圆的圆心到直线的距离，然后判断选项即可．

【详解】解：圆：圆的半径为，圆的圆心到直线的距离，

当直线上的点到圆心距离最小时，切线夹角最大，最大为，

故若要满足P为直线上的点，过点P作圆：的切线，切点为，，，则只有一个．

故选：B．

7．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分分，从中随机抽取一个容量为的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法错误的是（       ）

A．频率分布直方图中第三组的频数为人

B．根据频率分布直方图估计样本的众数为分

C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为分

D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为分

【答案】D

【分析】根据各段的频率的和等于，可求出第三段的频率，进而得到频数，可判定A；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标得到众数的估计值，可判定B；由中位数左右两边的频率各为，可以求得中位数，从而判定C；同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即为平均数的估计值，进而判定D．

【详解】分数在内的频率为，

所以第三组的频数为（人），故A正确；

因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为分，故B正确；

因为，，

所以中位数位于，设中位数为，则，解得，故C正确；

样本平均数的估计值为：（分），故D错误．

故选：D．

8．如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出正方体棱长，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，将表示为未知数的函数，根据其单调性求值域即可.

【详解】设正方体的棱长为2，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

∴，

故，令，故可得

当时，恒成立，故是单调减函数，

由复合函数单调性可知，在上是减函数，

∴时，取最小值，

时，取最大值.

∴的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查由向量法求解线面角，涉及利用导数求函数单调性，属难题.

二、多选题

9．设向量，，则（       ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】CD

【分析】分别求出即可判断；由，即可判断B；根据即可判断C；运用向量夹角公式即可判断D．

【详解】由题意，，，

所以，

则，故A错误；

因为，，所以由，

所以与不平行，故B错误；

又，即，故C正确；

因为，，

所以在上的投影向量为，故D正确．

故选：CD．

10．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，如图F1、F2为焦点，A1、A2为顶点，B1、B2为虚轴端点，给出以下几个说法中正确的是（       ）

A．双曲线是黄金双曲线

B．若，则该双曲线是黄金双曲线

C．若，则该双曲线是黄金双曲线

D．若，则该双曲线是黄金双曲线

【答案】BCD

【分析】利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．

【详解】双曲线的离心率为，所以A错误；

，则，

，解得，或舍，

该双曲线是黄金双曲线，故B正确；

如图，，为左右焦点，，为左右顶点，

，，且，

，即，

整理，得，

由B知该双曲线是黄金双曲线，故C正确；

如图，经过右焦点且，

故，，

，

，，由B知该双曲线是黄金双曲线，故D正确．

故选：BCD

11．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于轴对称

C．点为函数图象的一个对称中心

D．函数的最大值为

【答案】AD

【分析】化简函数为正弦型函数，再结合正弦函数图象的性质依次判断选项中的说法是否正确即可．

【详解】函数

，

由知，的最小正周期为，A正确；

由，的图象不关于轴对称，B错误；

由，点不是函数图象的一个对称中心，C错误；

由，的最大值是，D正确．

故选：AD．

12．如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，使得二面角为，，分别为，的中点，是的中点，则（       ）

A．折纸后四面体的体积为

B．折纸后

C．折纸后

D．折纸后四面体外接球与内切球的半径之比为

【答案】AB

【分析】依题意，过作的延长线于，证得平面，求出可判断A，由余弦定理计算求得，可判断B，取的中点，连接，，则，计算数值可判断C，设四面体外接球的半径为，内切球的半径为，由，得根据等体积法求得，判断D．

【详解】如图，连接，，，，过作的延长线于．

，，，

平面，，易证平面．

，，，

，，

，A正确．

，，

，

，

．

，，

，B正确．

取的中点，连接，，则．

，，，

，C错误．

设四面体外接球的半径为，内切球的半径为．

，．

，

，，D错误．

故选：AB．

三、填空题

13．已知，，则的模为________．

【答案】

【分析】根据空间向量模的坐标运算求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

14．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为________．

【答案】

【分析】求出点P关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，N，三点共线时取最小值，可得最短距离．

【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标为

则解得：，

所以，

设，设直线上的点，则

则当且仅当Q，N，三点共线时取等号，

而，

所以最短结论为，

故答案为：．

15．亲情教育越来越受到重视．在公益机构的这类活动中，有一个环节要求父母与子女各自从，，，，中随机挑选一个数以观测两代人之间的默契程度．若所选数据之差的绝对值等于，则称为“基本默契”，结果为“基本默契”的概率为__________．

【答案】0.32

【分析】分别求出事件总数和满足条件的事件总数，利用古典概型的概率公式即可求得.

【详解】父母与子女各自从，，，，中随机挑选一个数，共有种，

所选数据之差的绝对值等于的为，，，，，，，,共种，

故结果为“基本默契”的概率为.

故答案为：.

16．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.

【答案】

【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求△中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.

【详解】由△外接圆的面积为，则其外接圆半径为.

∵△是以为底边的等腰三角形，设，则，

∴，得，

∴或.

不妨设点在轴下方，由△是以为底边的等腰三角形，知：或

又根据点差法可得，有，而此时焦点在轴上，舍去)

∵为椭圆的右焦点，

∴，故椭圆的长轴长为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a.

四、解答题

17．在 中，内角的对边分别为 .已知

（1）       求的值

（2）       若 ，求的面积.

【答案】（1）   （2）

【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．

（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积．

【详解】（1）由正弦定理得，

所以

即

即有，即

所以

（2）由（1）知，即，

又因为 ，所以由余弦定理得：

，即，解得,

所以，又因为，所以 ，

故的面积为=.

【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．

18．正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设 ．

(1)求证：无论取何值，与不可能垂直；

(2)设二面角的大小为，当 时，求的值．

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）利用反证法，假设，可证得，从而求得，但是与矛盾，故假设不成立，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用即可求出的值.

(1)

证明：假设，

又∵，，平面，

∴平面，∴，

又∵，∴，

这与矛盾，所以假设不成立，故与不可能垂直；

(2)

分别以为，轴，过点垂直平面向上为轴，如图建立坐标系，

则,,，，

即，，

设平面的一个法向量为，由，得

，令，则，，

即，

设平面的一个法向量为，

由，，，得

，令，则，，

，

，

解得.

19．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为.

（1）设年后（年后为2018年）年产能为2017年的倍，请用表示；

（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的？

参考数据：，.

【答案】（1）；（2）至少要到年才能使年产能不超过年的．

【分析】（1）依题意得：，解得即可，

（2）设年后年产能不超过2017年的，则，解得即，即可求出答案

【详解】解：（1）依题意得：，

，

即

（2）设年后年产能不超过2017年的，则

，

即，

即

即，

，

即

，且

的最小值为．

答：至少要到年才能使年产能不超过年的．

【点睛】本题考查利用指数函数解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．已知椭圆，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且．

(1)抛物线C的标准方程;

(2)若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及抛物线的性质可求得和，再结合解出即可得抛物线的方程；（2）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，，设直线的方程为，与抛物线方程联立可得， ，把根与系数的关系代入可得，由其为定值可得，即得结果.

代入同理可得结论．

【详解】（1）由题意知，焦点的坐标为，则，，

又，解得：.故抛物线的标准方程为.

（2）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，，

显然直线的斜率不为0.设直线的方程为.

联立方程消去，并整理得，

则且，.

由，.

有.

若为定值，必有.

所以当为定值时，点的坐标为.

【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．