人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示导学案，共8页。


设复数z＝1＋eq \r(3)i在复平面内对应的点为Z.
[问题] (1)写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量eq \(OZ,\s\up6(―→))；
(2)记r为向量eq \(OZ,\s\up6(―→))的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋eq \r(3)i的实部、虚部之间的关系．





知识点一 复数的三角形式
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs__θ＋isin__θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(―→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
eq \a\vs4\al()
辐角和辐角主值的区别与联系
区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量eq \(OZ,\s\up6(―→))所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．
联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？
提示：辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z＝cs θ－isin θ是复数的三角形式．( )
(3)z＝－2(cs θ＋isin θ)是复数的三角形式．( )
(4)复数z＝cs π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
知识点二 复数三角形式乘、除运算
1．乘法运算法则
设z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的eq \a\vs4\al(积)，积的辐角等于各复数的辐角的eq \a\vs4\al(和)．
2．除法运算法则
设z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的eq \a\vs4\al(商)，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的eq \a\vs4\al(差)．
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：C
2．4(cs π＋isin π)÷2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝( )
A．1＋eq \r(3)i B．1－eq \r(3)i
C．－1＋eq \r(3)i D．－1－eq \r(3)i
答案：C
[例1] (链接教科书第84页例1)将下列复数代数式化成三角形式：
(1)eq \r(3)＋i；
(2)1－i.
[解] (1)r＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，所以cs θ＝eq \f(\r(3),2)，
对应的点在第一象限，所以arg(eq \r(3)＋i)＝eq \f(π,6)，
故eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6))).
(2)r＝eq \r(12＋（－1）2)＝eq \r(2)，所以cs θ＝eq \f(\r(2),2)，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝eq \f(7π,4)，
故1－i＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)＋isin \f(7π,4))).
eq \a\vs4\al()
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模；
(2)决定辐角所在的象限；
(3)根据象限求出辐角；
(4)求出复数的三角形式．
[跟踪训练]
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
A.eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)－isin\f(π,4)))
B．－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
C.eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3,4)π＋ics\f(3,4)π))
D．cseq \f(7,5)π＋isineq \f(7,5)π
解析：选D 选项A，cseq \f(π,4)与isineq \f(π,4)之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－eq \f(1,2)<0不符合r≥0要求；选项C，是sineq \f(3,4)π与icseq \f(3,4)π用“＋”连接而不是cseq \f(3π,4)＋isineq \f(3,4)π的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D.
2．复数z＝eq \r(3)－i的三角形式为( )
A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin \f(2π,3))) B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)－isin \f(5π,3)))
C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,6)－isin \f(7π,6))) D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,6)＋isin \f(11π,6)))
解析：选D 因为r＝2，所以cs θ＝eq \f(\r(3),2)，与z＝eq \r(3)－i对应的点在第四象限，所以arg(eq \r(3)－i)＝eq \f(11π,6)，故z＝eq \r(3)－i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,6)＋isin \f(11π,6))).
[例2] (链接教科书第85页例2)复数z＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)＋ics\f(2π,3)))化为代数形式为( )
A.eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2) i B．－eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2) i
C．－eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2) i D.eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2) i
[解析] z＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)＋ics\f(2π,3)))
＝eq \r(3)sineq \f(2π,3)＋eq \r(3)icseq \f(2π,3)
＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋ieq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))
＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i.
[答案] D
eq \a\vs4\al()
将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cs A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcs A，y＝rsin A．
[跟踪训练]
复数eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin \f(7,4)π))的代数形式为________．
解析：eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7,4)π＋isin \f(7,4)π))
＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(3,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(3,4)π))))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs\f(3,4)π－isin \f(3,4)π))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝1－i.
答案：1－i
[例3] (链接教科书第87页例3、88页例5)计算：
(1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))×eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))；
(2)6(cs 160°＋isin 160°)÷[eq \r(2)(cs 25°＋isin 25°)]．
[解] (1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))×eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,2)＋isin \f(3π,2)))
＝－2eq \r(3)i.
(2)原式＝3eq \r(2)[cs(160°－25°)＋isin(160°－25°)]
＝3eq \r(2)(cs 135°＋isin 135°)
＝3eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))
＝－3＋3i.
eq \a\vs4\al()
在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．
[跟踪训练]
1．计算：2i÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（cs 30°＋isin 30°）)).
解：2i÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（cs 30°＋isin 30°）))
＝2(cs 90°＋isin 90°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（cs 30°＋isin 30°）))
＝4(cs 60°＋isin 60°)＝2＋2eq \r(3)i.
2．已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值．
解：∵z1＝4＋4i＝4eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))，
z2＝－1－i＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,4)＋isin\f(5π,4)))，
∴z1z2＝4eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,4)＋isin\f(5π,4)))))
＝8eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(5π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(5π,4)))))
＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,2)＋isin\f(3π,2)))，
∴θ1＋θ2＝eq \f(3π,2).
[例4] (链接教科书第88页例4)在复平面内，把复数3－eq \r(3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－eq \r(3)i＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin \f(11,6)π)).
所以2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin \f(π,3)))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin \f(13,6)π))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin \f(π,6)))＝3＋eq \r(3)i，
2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin \f(3,2)π))＝－2eq \r(3)i.
故把复数3－eq \r(3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(3)i.
eq \a\vs4\al()
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up6(―→))，eq \(OZ2,\s\up6(―→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up6(―→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把eq \(OZ1,\s\up6(―→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq \(OZ,\s\up6(―→))，eq \(OZ,\s\up6(―→))表示的复数就是积z1z2.
[跟踪训练]
在复平面内，把与复数eq \f(3\r(3),4)＋eq \f(3,4)i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转eq \f(π,3)，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．
解：eq \f(3\r(3),4)＋eq \f(3,4)i＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin \f(π,6)))，
由题意得eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))))
＝eq \f(3,2)×2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))))
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
1．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝eq \r(2)(sin 45°＋ics 45°)
B．z＝eq \r(2)(cs 45°＋isin 45°)
C．z＝eq \r(2)[cs(－45°)－isin(－45°)]
D．z＝eq \r(2)[cs(－45°)＋isin(－45°)]
解析：选B 依题意得r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cs θ＝eq \f(\r(2),2)，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确．故选B.
2．已知i为虚数单位，z1＝eq \r(2)(cs 60°＋isin 60°)，z2＝2eq \r(2)(sin 30°－ics 30°)，则z1·z2＝( )
A．4(cs 90°＋isin 90°) B．4(cs 30°＋isin 30°)
C．4(cs 30°－isin 30°) D．4(cs 0°＋isin 0°)
解析：选D ∵z2＝2eq \r(2)(sin 30°－ics 30°)＝2eq \r(2)·(cs 300°＋isin 300°)，
∴z1·z2＝eq \r(2)(cs 60°＋isin 60°)·2eq \r(2)·(cs 300°＋isin 300°)＝4(cs 360°＋isin 360°)．故选D.
3．计算eq \f(（\r(3)＋i）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3))),sin\f(π,3)＋ics\f(π,3))的值．
解：eq \f(（\r(3)＋i）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3))),sin\f(π,3)＋ics\f(π,3))
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3))),cs\f(π,6)＋isin\f(π,6))
＝eq \f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3))))),cs\f(π,6)＋isin\f(π,6))
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2))),cs\f(π,6)＋isin\f(π,6))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝1＋eq \r(3)i.
新课程标准解读
核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学运算
复数的代数形式化为三角形式
复数的三角形式化为代数形式
复数三角形式的乘法、除法运算
复数三角形式乘、除运算的几何意义