人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案及答案，共6页。
1．5.1 全称量词与存在量词
观察下列语句：(1)x＞3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x＞3；(4)存在一个x∈R，2x＋1是整数．
[问题] 比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？



知识点一 全称量词与全称量词命题
eq \a\vs4\al()
全称量词命题含有全称量词，但有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
知识点二 存在量词与存在量词命题
eq \a\vs4\al()
含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )
(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝eq \f(7,3)；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
[例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．
eq \a\vs4\al()
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[注意] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1也是有理数；
(3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除．
解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．
(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
[例2] 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
(1)有的集合中存在两个相同的元素；
(2)∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
(3)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0；
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝csB.
[解析] (1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．
(2)是全称量词命题，∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题．
(3)是存在量词命题，因为不存在x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．
(4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝cs B，是真命题．
eq \a\vs4\al()
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；
(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
[跟踪训练]
1．下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈Z，x2>2
C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y20是全称量词命题，不合题意；
对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D，∃x，y∈R，x2＋y2