人教A版 (2019)2.1 等式性质与不等式性质第二课时学案

这是一份人教A版 (2019)2.1 等式性质与不等式性质第二课时学案，共6页。


在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象．
[问题] 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？



知识点一 等式的性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)．
eq \a\vs4\al()
运用等式的基本性质3时，等式两边要同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系．
知识点二 不等式的性质
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
(2)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( )
(3)若a＞b，则ac2＞bc2一定成立．( )
(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
答案：C
3．若a＞b＞0，n＞0，则eq \f(1,an)________eq \f(1,bn).(填“＞”“＜”或“＝”)
答案：＜
[例1] (多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是( )
A．若a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
D．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
[解析] A：因为a3，b3不改变a，b的符号，即符合不等式的可乘方性，故该结论正确．
B：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＜b，,a＜0))可得a2＞ab.因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＜b，,b＜0，))所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故该结论正确．
C：由eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，可知eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故该结论正确．
D：依题意取a＝－2，b＝－1，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，显然eq \f(b,a)＜eq \f(a,b).故该结论错误．故选A、B、C.
[答案] ABC
eq \a\vs4\al()
利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
[跟踪训练]
1．下列命题中，正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac＞bc，则a＜b
C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D．若eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，则a＜b
解析：选D 选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成立，故D正确．故选D.
2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
解析：选C 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
[例2] (链接教科书第42页例2)已知c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
[证明] 因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a因为c>a，所以c－a>0.所以0上式两边同乘eq \f(1,（c－a）（c－b）)，得eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0.
又因为a>b>0，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
eq \a\vs4\al()
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟踪训练]
1．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
2．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd得，eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
[例3] (链接教科书第42页习题5题)已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解] ∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求eq \f(a,b)的取值范围．
解：∵2＜b＜8，
∴eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，而1＜a＜4，
∴1×eq \f(1,8)＜a·eq \f(1,b)＜4×eq \f(1,2)，即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
故eq \f(a,b)的取值范围是eq \f(1,8)eq \a\vs4\al()
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[跟踪训练]
已知－1＜x＜4，2＜y＜3.
(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
解：(1)因为－1＜x＜4，2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.
(2)由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，
所以1＜3x＋2y＜18.
1．根据等式的性质判断下列变形正确的是( )
A．如果2x＝3，那么eq \f(2x,a)＝eq \f(3,a)
B．如果x＝y，那么x－5＝5－y
C．如果eq \f(1,2)x＝6，那么x＝3
D．如果x＝y，那么－2x＝－2y
解析：选D 对于A，没有a≠0的条件，等式的两边不能都除以a，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以－1后加上5，等式不成立，故选项B不
正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以－2，等式成立，故选项D正确．
2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)
D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
4．已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求eq \f(a,b)的取值范围．
解：∵2＜b＜3，∴eq \f(1,3)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2).
①当0≤a＜8时，0≤eq \f(a,b)＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜eq \f(a,b)＜0.
由①②得－3＜eq \f(a,b)＜4，即eq \f(a,b)的取值范围是－3＜eq \f(a,b)＜4.
性质
别名
性质内容
注意
(1)
对称性
a＞b⇔b＜a
可逆
(2)
传递性
a＞b，b＞c⇒a＞c
不可逆
(3)
可加性
a＞b⇔a＋c＞b＋c
可逆
(4)
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b，,c＞0))⇒ac＞bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b，,c＜0))⇒ac＜bc
(5)
同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( a＞b，,c＞d))⇒a＋c＞b＋d
同向
(6)
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b＞0，,c＞d＞0))⇒ac＞bd
同向
(7)
可乘方性
a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)
同正
利用不等式的性质判断命题的真假
利用不等式的性质证明不等式
用不等式性质求代数式的取值范围