高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计，共11页。

我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x).
[问题] (1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？



知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中eq \a\vs4\al(x)是自变量，eq \a\vs4\al(α)是常数．
eq \a\vs4\al()
对幂函数的再理解
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；
(3)项数只有一项．
1．在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
解析：函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝________．
解析：∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，
∴m＋1＝1，即m＝0.
答案：0
知识点二 五个常见幂函数的图象与性质
1．五个常见幂函数的图象
2．五个常见幂函数的性质
1．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,9)))，则α＝( )
A．－2 B．2
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案：A
2．当x∈(0，1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“
[例1] (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
[解析] (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案] (1)B (2)5或－1
eq \a\vs4\al()
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝4x2
C．y＝2x＋1 D．y＝x－eq \f(1,2)
解析：选AD 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－eq \f(1,2)的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数．
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up6(\f(1,a－2))为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
解析：选C 因为f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up6(\f(1,a－2))为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
[例2] (链接教科书第91页练习1题)点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)0，所以x1－x20，于是f(x2)－f(x1)f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.
所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
[例4] (链接教科书第91页练习2题)比较下列各组数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2)).
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5).
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1).
(3)∵函数y1＝xeq \s\up6(\f(3,4))为(0，＋∞)上的增函数，又eq \f(3,2)＞1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))＞1eq \s\up6(\f(3,4))＝1.
又∵函数y2＝xeq \s\up6(\f(3,2))在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(3,4)＜1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2))＜1eq \s\up6(\f(3,2))＝1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2)).
eq \a\vs4\al()
比较幂值大小的2种方法

[跟踪训练]
比较下列各组值的大小：
(1)(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))，0.35eq \s\up6(\f(6,5))；(2)1.2eq \s\up6(\f(1,2))，1.4eq \s\up6(\f(1,2))，1.42.
解：(1)∵y＝xeq \s\up6(\f(6,5))为R上的偶函数，∴(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))＝0.31eq \s\up6(\f(6,5)).
又函数y＝xeq \s\up6(\f(6,5))在[0，＋∞)上单调递增，且0.31＜0.35，
∴0.31eq \s\up6(\f(6,5))＜0.35eq \s\up6(\f(6,5))，即(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))＜0.35eq \s\up6(\f(6,5)).
(2)∵y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函数，且1.2