2020-2021学年4.1 指数学案及答案

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[问题] (1)已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的函数吗？
(2)如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？





知识点 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中eq \a\vs4\al(x)是自变量，定义域是(0，＋∞)．
对数函数的解析式有何特征？
提示：在对数函数的定义表达式y＝lgax(a>0，且a≠1)中，lgax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)y＝lg2x2与lgx3都不是对数函数．( )
答案：(1)× (2)√
2．函数f(x)＝lg2(x－1)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案：B
3．若函数f(x)＝(a－1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
答案：2
[例1] 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；
(3)y＝lgx5；(4)y＝lg2x＋1.
[解] (1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式lg2x后又加上1，不是对数函数．
eq \a\vs4\al()
判断一个函数是对数函数的依据

[跟踪训练]
1．函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
2．若对数函数f(x)＝lgax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．
解析：依题意知1＝lga2，所以a＝2，
所以f(x)＝lg2x，
故f(8)＝lg28＝3.
答案：3
[例2] (链接教科书第130页例1)求下列函数的定义域：
(1)y＝lg5(1－x)；
(2)y＝eq \f(ln（4－x）,x－3).
[解] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝lg5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x>0，,x－3≠0，))解得x<4，且x≠3，所以函数y＝eq \f(ln（4－x）,x－3)的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．
eq \a\vs4\al()
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
[跟踪训练]
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；
(2)f(x)＝lg(x＋1)(16－4x)．
解：(1)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2>0，
x－3≠0，))解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16－4x>0，
x＋1>0，
x＋1≠1，))解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4)．
[例3] (链接教科书第131页例2)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[解] (1)由题意知y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.15x，0≤x≤10，
1.5＋2lg5（x－9），x>10.))
(2)由题意知1.5＋2lg5(x－9)＝5.5，
即lg5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元．
eq \a\vs4\al()
实际问题中对数函数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算性质，注意变量的实际意义．
[跟踪训练]
某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A 由题意，知100＝alg2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝100×3＝300.
1．(多选)下列函数中为对数函数的是( )
A．y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(－x) B．y＝2lg4(x－1)
C．y＝ln x D．y＝lg(a2＋a＋2)x(a是常数)
解析：选CD 对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2lg4(x－1)＝lg2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)>1，故D是对数函数．
2．已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))x D．y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x
解析：选C 设函数f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)，
∵对数函数的图象过点M(9，－2)，
∴－2＝lga9，∴a－2＝9，a>0，
解得a＝eq \f(1,3).
∴此对数函数的解析式为y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))x.故选C.
3．已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选B 将点(6，3)代入f(x)＝lga(x＋2)中，
得3＝lga(6＋2)＝lga8，即a3＝8，∴a＝2，
∴f(x)＝lg2(x＋2)，∴f(2)＝lg2(2＋2)＝2.
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2（x－1）)；
(2)y＝eq \r(lg（x－3）).
解：(1)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg2（x－1）≠0，))解得x>1，且x≠2.
故函数y＝eq \f(1,lg2（x－1）)的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3>0，,lg（x－3）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3>0，,x－3≥1，))解得x≥4.
故函数y＝eq \r(lg（x－3）)的定义域是{x|x≥4}．
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例了解对数函数的概念
数学抽象、数学运算
对数函数的概念
对数型函数的定义域
对数型函数的实际应用