人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第一课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第一课时学案，共8页。

“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：是以圆心为对称中心的中心对称图形；又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
[问题] 你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？





知识点 诱导公式二、三、四
1．公式二
2．公式三
3．公式四
eq \a\vs4\al()
诱导公式的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；
(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．
“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．( )
(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )
(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．( )
(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝eq \f(π,2)不成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．已知cs(π＋θ)＝eq \f(\r(3),6)，则cs θ＝( )
A.eq \f(\r(3),6) B．－eq \f(\r(3),6)
C.eq \f(\r(33),6) D．－eq \f(\r(33),6)
答案：B
3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________．
答案：－4
4．cs(－30°)＝________，sineq \f(2π,3)＝________．
答案：eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(3),2)
[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值：
(1)cseq \f(17π,6)；(2)tan(－855°)；(3)taneq \f(3π,4)＋sineq \f(11π,6).
[解] (1)cseq \f(17π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(5π,6)))＝cseq \f(5π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))
＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6)))
＝－taneq \f(π,4)－sineq \f(π,6)＝－1－eq \f(1,2)
＝－eq \f(3,2).
eq \a\vs4\al()
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

[跟踪训练]
计算：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))；
(2)sin(－60°)＋cs 225°＋tan 135°；
(3)sineq \f(4π,3)·cseq \f(25π,6)·taneq \f(5π,4).
解：(1)原式＝－sineq \f(7π,3)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝－sin 60°＋cs(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－eq \f(\r(3),2)－cs 45°－tan 45°
＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)－1
＝－eq \f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).
(3)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4)))
＝－sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)taneq \f(π,4)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)×1＝－eq \f(3,4).
[例2] (链接教科书第190页例2)化简：
(1)eq \f(cs（－α）tan（7π＋α）,sin（π－α）)；
(2)eq \f(sin（1 440°＋α）·cs（α－1 080°）,cs（－180°－α）·sin（－α－180°）).
[解] (1)原式＝eq \f(cs αtan（π＋α）,sin α)＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin（4×360°＋α）·cs（3×360°－α）,cs（180°＋α）·[－sin（180°＋α）])＝eq \f(sin α·cs（－α）,（－cs α）·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.
eq \a\vs4\al()
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[跟踪训练]
化简：(1)eq \f(sin（3π＋α）·cs（α－4π）,cs（－α－5π）·sin（－π－α）)；
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋2sin[α－（2n＋1）π],sin（α－2nπ）cs（2nπ－α）)(n∈Z)．
解：(1)原式＝eq \f(sin（π＋α）·cs α,cs（π＋α）·[－sin（π＋α）])
＝eq \f(cs α,cs α)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin[（π＋α）＋2nπ]＋2sin[（α－π）－2nπ],sin（α－2nπ）cs（2nπ－α）)
＝eq \f(sin（π＋α）＋2sin（α－π）,sin αcs α)
＝eq \f(－sin α－2sin α,sin αcs α)＝－eq \f(3,cs α).
[例3] (2021·济宁一中月考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
[解] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3).
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))的值．
解：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))－sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－2π))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(3)＋2,3).
2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解：由题意知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值．
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))＝
－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝
1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
＝－eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(2－\r(3),3).
eq \a\vs4\al()
解决条件求值问题的两技巧

[跟踪训练]
1．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，则cs(α－2π)的值是( )
A．－eq \f(4,5) B.eq \f(4,5)
C．－eq \f(3,5) D.eq \f(3,5)
解析：选B ∵sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且sin(π＋α)＝－sin α，
∴sin α＝－eq \f(3,5)，又α是第四象限角，
∴cs(α－2π)＝cs α＝eq \r(1－sin2α)
＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5).
2．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值为________．
解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝－taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
答案：－eq \f(\r(3),3)
1．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(32π,3)))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
解析：选A 由诱导公式可知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(32π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－12π))＝cseq \f(4π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)，故选A.
2．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( )
A.eq \f(a,\r(1－a2)) B.eq \f(－a,\r(1－a2))
C.eq \f(a,\r(1＋a2)) D.eq \f(－a,\r(1＋a2))
解析：选B ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，
∴cs 70°＝eq \r(1－（－a）2)＝eq \r(1－a2)，
∴tan 70°＝eq \f(sin 70°,cs 70°)＝eq \f(－a,\r(1－a2)) .
3．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β
C．cs α＝cs β D．cs(2π－α)＝－cs β
解析：选C 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cs α＝cs β.
4．化简：eq \f(cs（3π－α）,sin（－π＋α）)·tan(2π－α)＝________．
解析：原式＝eq \f(cs（π－α）,－sin（π－α）)·tan(－α)
＝eq \f(－cs α,－sin α)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(sin α,cs α)))＝－1.
答案：－1
新课程标准解读
核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式
数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简与证明、求值问题转化为锐角三角函数的化简与证明、求值问题
数学运算、逻辑推理
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sinα，
cs(π＋α)＝－csα，
tan(π＋α)＝tanα
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于 x轴对称
公式
sin(－α)＝－sinα，
cs(－α)＝csα，
tan(－α)＝－tan α
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于 y轴对称
公式
sin(π－α)＝sinα，
cs(π－α)＝－csα，
tan(π－α)＝－tanα
给角求值问题
化简求值问题
给值(式)求值问题