小学数学人教版六年级上册8 数学广角——数与形精品习题

人教版六年级数学上册同步教案

8.1数学广角——数与形

教学内容：P107-108  例1、例2

教学目标

知识与技能

1．通过自主探究发现图形中隐藏的数学规律，并会应用发现的规律。

2．能运用数形结合的方法解决实际问题。　　

过程与方法

经历观察、分析、发现数与形之间的关系的过程，掌握用数形结合思想解决问题的方法。

情感、态度与价值观

在综合运用知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会数形结合思想和极限思想。

重点难点

重点：借助数与形之间的关系解决实际问题。

难点：运用数形结合的方法探索规律，解决问题。

课前准备

教师准备　PPT课件

学生准备　学具

教学过程

板块一　解决问题，导入新课

活动1　问题探究，激趣导学

1．课件出示图片及问题：小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的健身中心，用了20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟，然后小兰用了5分钟跑步回到家中，而爸爸用了15分钟走回家中。

下面几幅图中，哪幅图可以用来描述妈妈离家时间和离家距离之间的关系？哪幅图可以用来描述爸爸离家时间和离家距离之间的关系？哪幅图可以用来描述小兰离家时间和离家距离之间的关系？

2．学生讨论、回答。

3．教师相机导学，课件出示：图2可以用来描述妈妈离家时间和离家距离之间的关系，因为妈妈在健身中心没停留；图3可以用来描述爸爸离家时间和离家距离之间的关系，因为他用了15分钟走回家中；图1可以用来描述小兰离家时间和离家距离之间的关系，因为她用了5分钟跑步回到家中。

活动2　揭示课题，引入新课

1．小结：借助图形不但能帮助我们直观了解小兰一家三口离家时间和离家距离之间的关系，还可以帮助我们解决复杂的代数问题。

2．过渡：这节课我们就来研究数与形。

操作指导　教学前教师要指导学生通过解决与图形有关的数学问题，使学生关注图形与数学的关系，在调动学生学习积极性的同时，为新知的学习做好准备。

板块二　观察讨论，探究新知

活动1　教学例1

1．课件出示：

观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。

1＝(　　)2　1＋3＝(　　)2　1＋3＋5＝(　　)2

2．观察图形与算式，总结规律。

(1)观察、讨论。

仔细观察，看一看图形和算式左边的加数有什么关系。

(2)汇报规律。

预设

规律一：算式左边加数的个数与对应的大正方形中每列(或每行)小正方形的个数相同；

规律二：算式左边的加数之和是大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形图中所包含的小正方形的个数之和；

规律三：算式左边的加数之和正好等于大正方形中每列(或每行)小正方形个数的平方；

规律四：算式的左边是从1开始的连续奇数的和。

3．运用规律解决问题。

(1)课件出示问题：

请你猜想一下，第4个图形是什么样的？下面的算式是什么？

(2)学生借助学具摆一摆。

(3)学生汇报交流。

(4)小结：根据前3个图形的规律，得出第4个图形是由16个小正方形拼成的大正方形，每行有4个小正方形，有4行。图形下面的算式是1＋3＋5＋7＝42。

(5)运用规律直接写一写算式。

①课件出示内容：

1＋3＋5＋7＝(　　)2　　　　　　　(1＋3＋5＋7＝42)

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝(　　)2　　　  (1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72)

________________________＝92  (1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92)

②学生思考后汇报交流。

③课件出示答案。

④总结算式的规律，课件出示：从1开始连续奇数的和等于这些奇数个数的平方。

活动2　教学例2

1．课件出示例题。

计算＋＋＋＋＋＋…。

2．观察、试算、发现规律。

(1)提问：观察算式中加数的特点，你有什么发现？

(2)学生思考后汇报交流：

从第二个加数开始，每个加数是前一个加数的。

(3)设疑：分步算一算，你有什么发现？

＋＝　　　　　＋＝　　　　　＋＝　　…

(4)学生汇报交流：

生：发现继续加下去，等号右边的分数越来越接近于1。

3．数形结合，验证规律。

(1)引导验证：你发现的规律成立吗？请结合图示进行验证。

(2)汇报、交流。

预设

生1：结合线段图验证：用一条线段表示单位“1”，则原算式可表示为：

生2：结合圆的面积验证：用一个圆的面积表示单位“1”，则原算式可表示为：

(3)得出结论。

＋＋＋＋＋＋…＝1

(4)导学：从以上两个图形中可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1，这体现了数学中的极限思想。

4．交流对用数形结合的方法解决问题的感悟。

(1)学生讨论交流。

(2)小结：数形结合的方法可以把抽象的代数问题形象化，使其直观、简洁、易懂。

操作指导　教学时，观察与讨论相结合，引导学生借助不同的几何图形解决例题中的代数问题，使学生在理解、掌握例题中数与形关系的基础上，充分体会用数形结合法解决问题的直观性，感受极限思想。

板块三　巩固练习，拓展提高

1．完成教材108页“做一做”1题。

(1)课件出示内容。

请你根据例1的结论算一算。

1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝(　　)

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝(　　)

(2)学生独立读题、分析、解答，鼓励用不同的方法解答。

(3)汇报交流。

(4)强调：只有从1开始的连续奇数相加的和才是平方数。

2．完成教材108页“做一做”2题。

(1)课件出示内容。

下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？

　  照这样接着画下去，第6个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？

(2)学生独立读题、分析、解答。

(3)汇报交流。

(4)小结并强调：第n个图形，红色小正方形就有n个，蓝色小正方形就有(2n＋6)个，其中6代表四个角上和左右两边固定的蓝色正方形，2n代表上下中间不断变化的部分。

操作指导　108页“做一做”2题把形与数对照，要引导学生用自己的语言描述。再通过探索形的变化规律，来理解数的变化规律。由于中间每增加1个红色小正方形，上下都必须增加2个蓝色小正方形。因此，红色小正方形的个数形成了1，2，3，4，…的数列，蓝色小正方形的个数形成了8，10，12，14，…的数列。

板块四　课堂总结，布置作业

1．课堂总结。

通过本节课的学习，你学会了哪些解决问题的方法？

2．布置作业。

教材109页1题，教材110页3题，教材111页6题。

操作指导　引导学生回顾本节课的知识：以形助数、以数解形、数形结合，并加以应用，从而体会和掌握归纳推理的思考方法。

板书设计

数学广角——数与形

例1　

1＝12　　　　　　1＋3＝22　　1＋3＋5＝32

  1＋3＋5＋7＝42

  1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72

  1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92

例2　

＋＝　　＋＝　　＋＝　　……

＋＋＋＋＋＋…＝1

教学反思

数形结合思想是一种重要的数学思想，本节课就是以这一思想为主题的数学课。在设计课程时，我力求做到以下几点。

一、环节清晰，螺旋递进。

数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的，数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上，围绕着数与形的互相转化与结合，我将数形结合思想的教学分解为以形助数、以数解形、数形结合。

二、自主探究，验证总结。

在例1的教学中，我让学生亲自动手，根据算式摆图形，学生在动手摆的过程中经历了将数转化为形的过程，体现了数与形的联系，探索发现了简便算法，感受到了成功的喜悦。

本节课的教学启示：在数形结合的基础上，要引导学生猜想有限项的规律并加以验证、归纳、总结出通用模式，并加以应用，从而体会和掌握归纳推理的思考方法。