数学必修 第二册6.2 平面向量的运算复习练习题

向量的加法运算

[A级　基础巩固]

1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是(　　)

A．梯形　　　　　　　　 B．矩形

C．正方形  D．平行四边形

解析：选D　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．

2．(多选)已知向量a∥b，且a≠－b，则向量a＋b的方向可能(　　)

A．与向量a的方向相同

B．与向量a的方向相反

C．与向量b的方向相同

D．与向量b的方向相反

解析：选ABCD　∵a∥b，且a≠－b，∴a与b共线，它们的和的方向可能与a同向或反向，与b同向或反向．

3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)

A．0  B.

C.  D.

解析：选A　∵＝，∴＋＋＝＋＋＝0.

4．下列说法：

①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；

②△ABC中，必有＋＋＝0；

③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；

④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．

其中正确说法的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B　①错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.

5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　在原图上取点M，使＋＝，如图所示，而＝.故选C.

6．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于________．

解析：(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

答案：

7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________．

解析：＋＋＝＋＋＝.

答案：

8．某人在静水中游泳，速度为4 km/h. 如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，则此人实际沿________的方向前进，速度为________．

解析：如图所示，∵OB＝4，OA＝4，

∴OC＝8，∴∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.

答案：与水流方向成60°　8 km/h

9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|的值．

解：∵＋＝＋＝0，

∴＝，＝，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又||＝||＝1，

∴四边形ABCD为菱形．

又cos∠DAB＝，0°<∠DAB<180°，

∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，

∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，

|＋|＝||＝||＝1.

10.如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：

(1)＋；

(2)＋.

解：如图所示，(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．

(2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．

[B级　综合运用]

11．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　)

A．a∥b  B．a＋b＝a

C．a＋b＝b  D．|a＋b|<|a|＋|b|

解析：选AC　由条件得：(＋)＋(＋)＝0＝a.故选A、C.

12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．点P在△ABC的内部

B．点P在△ABC的边AB上

C．点P在AB边所在的直线上

D．点P在△ABC的外部

解析：选D　＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．故选D.

13．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为________．

解析：因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.

答案：[0，3]

14．如图，已知向量a，b，c，d.

(1)求作a＋b＋c＋d；

(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．

解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.如图所示．

(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，

因为e为单位向量，

所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时取得||即|a＋e|的最大值，最大值是3.

[C级　拓展探究]

15.如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点A，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．它能否从点A走到与它相邻的点B？它能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点？

解：若开始位于A点，由“马”走“日”可知它的第一步有3种可能的走法(点C，D，E)．它能从A走到与它相邻的点B，如A→C→F→B(不唯一)，它能走到棋盘上的其他任何一个交叉点．