高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课后测评

平面向量数量积的坐标表示

[A级　基础巩固]

1．a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)

A．23　　　　　　　　　 B．57

C．63  D．83

解析：选D　3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D.

2．已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．任意三角形

解析：选B　由已知＝(1，1)，＝(－3，3)，所以cos A＝＝＝0，则A＝.故选B.

3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)

A.  B．2

C．4  D．12

解析：选B　a＝(2，0)，|b|＝1，

∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.

∴|a＋2b|＝＝2.

4．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝(　　)

A．－2  B．2

C．－2或2  D．0

解析：选B　∵＋＝，∴n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.

5．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－(1，)＝.故选D.

6．设向量a＝(x＋1，－x)，b＝(1，2)，且a⊥b，则|a|＝________．

解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，则x＋1＋(－x)×2＝0，解得x＝1，则|a|＝ ＝.

答案：

7．已知a＝(－1，3)，b＝(1，y)．若a与b的夹角为45°，则y＝________．

解析：a·b＝－1＋3y，|a|＝，|b|＝，

∵a与b的夹角为45°，∴cos 45°＝＝＝.

解得y＝2或y＝－(舍去)．

答案：2

8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________．

解析：设b＝(x，y)．

∵|b|＝ ＝1，∴x2＋y2＝1.

∵a·b＝x＋y＝，∴x2＋[(1－x)]2＝1.

∴4x2－6x＋2＝0.∴2x2－3x＋1＝0.

∴x1＝1，x2＝，∴y1＝0，y2＝.

∵(1，0)是与x轴平行的向量，舍去，∴b＝.

答案：

9．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．

(1)试计算a·b及|a＋b|的值；

(2)求向量a与b夹角的余弦值．

解：(1)∵a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，

∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

|a＋b|＝ ＝＝.

(2)设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝＝＝.

10．已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．

解：(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，

∴＝(1，1)，＝(－3，3)．

又·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，∴AB⊥AD.

(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，

∴＝.

设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．

又＝(1，1)，∴解得

∴点C的坐标为(0，5)．

∴＝(－2，4)，＝(－4，2)，

∴||＝2 ，||＝2 ，·＝8＋8＝16.设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.

故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.

[B级　综合运用]

11．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，梯形所在平面内一点P满足＋＝2，则·＝(　　)

A．－  B．－1

C．－2  D．－2

解析：选B　建立如图所示的平面直角坐标系，因为AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，所以B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，D(1，2)，所以＝(0，2)，＝(2，0)，因为＋＝2，所以2＝(0，2)＋(2，0)＝(2，2)，故＝(1，1)，故P(1，1)，＝(0，1)，＝(1，－1)，所以·＝0×1＋1×(－1)＝－1.

12．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是(　　)

A．[0，1]  B．[－1，1]

C．[－， ]  D．[0， ]

解析：选C　由a，b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，则(a－b)·c＝|a－b||c|·cos θ＝cos θ，∵cos θ∈[－1，1]，∴(a－b)·c的取值范围为[－， ]．

13．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．

解析：设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，

∴∴∴q＝(－2，1)．

答案：(－2，1)

14．如图，在△ABC中，·＝0，||＝8，||＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．

(1)求·的值；

(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由．

解：(1)以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意易知|BC|＝10，

则D(0，0)，B(－5，0)，C(5，0)，A，

此时＝，＝(－10，0)，

所以·＝－×(－10)＋×0＝14.

(2)是一个常数．理由如下：设点E的坐标为(0，y)(y≠0)，此时＝，

所以·＝－×(－10)＋×0＝14，为常数，故·的值是一个常数．

[C级　拓展探究]

15.在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？并给出理由．

解：S△OAB＝|x1y2－x2y1|.

理由如下：如图所示，记t＝OA，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．

过B作OA的垂线BC.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知BC＝|a·|，

因此，△OAB的面积为S＝AO×BC＝AO×|a·|

＝t×

＝

＝.