高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用同步测试题，共4页。

1．在△ABC中，若a＝2，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)＋1，则A＝( )
A．45° B．30°
C．135° D．150°
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（\r(2)）2＋（\r(3)＋1）2－22,2×\r(2)×（\r(3)＋1）)＝eq \f(\r(2),2)，∴A＝45°.
2．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcs C，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或－4(舍去)．故选A.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3)
解析：选B 由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－a×2a,2a·2a)＝eq \f(3,4).
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.eq \f(4,3) B．8－4eq \r(3)
C．1 D.eq \f(2,3)
解析：选A 依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋b）2－c2＝4，,a2＋b2－c2＝2abcs 60°＝ab，))两式相减得ab＝eq \f(4,3).故选A.
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)，且bA．b＝2 B．b＝2eq \r(2)
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD 由a2＝b2＋c2－2bccs A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b6．在△ABC中，已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝________．
解析：由余弦定理，得5＝b2＋4－2×b×2×eq \f(2,3)，解得b＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＝－\f(1,3)舍去)).
答案：3
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则B＝________．
解析：因为a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，所以a2＋c2－b2＝eq \r(2)ac，
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2)，又0°答案：45°
8．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a.
所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，
由余弦定理，得cs α＝eq \f(（2a）2＋（2a）2－a2,2×2a×2a)＝eq \f(7,8).
答案：eq \f(7,8)
9．用余弦定理证明：在△ABC中，a＝bcs C＋ccsB.
证明：∵bcs C＋ccs B
＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
＝eq \f(a2＋b2－c2,2a)＋eq \f(a2＋c2－b2,2a)
＝eq \f(2a2,2a)＝a.
∴在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B成立．
10．在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
代入已知条件得
a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，
化简整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
[B级 综合运用]
11．(多选)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值可能为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
解析：选BD ∵(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，
∴eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·tan B＝eq \f(\r(3),2)，
即cs B·tan B＝sin B＝eq \f(\r(3),2).
∵012．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，则b＝________．
解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
知B＝60°，a＋c＝8，ac＝15，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.
∴b＝eq \r(19).
答案：eq \r(19)
13．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq \r(13)，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
解析：由余弦定理，可得
cs A＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq \f(42＋32－（\r(13)）2,2×3×4)＝eq \f(1,2)，
又0则AC边上的高h＝ABsin A＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
答案：eq \f(π,3) eq \f(3\r(3),2)
14．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两个根，且2cs(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长度．
解：(1)cs C＝cs [π－(A＋B)]＝－cs (A＋B)＝－eq \f(1,2)，又0°(2)因为a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两个根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))
所以由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C
＝b2＋a2－2abcs 120°
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq \r(3))2－2＝10.
所以AB＝eq \r(10).
[C级 拓展探究]
15．若AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝eq \f(1,2) eq \r(2（AB2＋AC2）－BC2).
证明：如图，设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α.
在△ABM中，由余弦定理，得AB2＝AM2＋BM2－2AM·BMcs α.
在△ACM中，由余弦定理，得AC2＝AM2＋MC2－2AM·MCcs(180°－α)．
因为cs(180°－α)＝－cs α，BM＝MC＝eq \f(1,2)BC，
所以AB2＋AC2＝2AM2＋eq \f(1,2)BC2，
从而AM＝eq \f(1,2) eq \r(2（AB2＋AC2）－BC2).