人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用巩固练习，共5页。

1．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于( )
A．1 B.eq \r(2)
C．3eq \r(2) D.eq \r(3)
解析：选C C＝180°－30°－15°＝135°，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(3×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝3eq \r(2).故选C.
2．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：选B 由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq \f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
3．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs C,c)，则C的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)，∴eq \f(sin C,c)＝eq \f(cs C,c)，∴cs C＝sin C，∴tan C＝1，又∵0°∴C＝45°.故选B.
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，由a＝bsin A，得sin B＝1，所以B＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形．
5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
解析：选BC 选项A：因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解．选项B：因为sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(8\r(3),15)<1，且c>b，所以角C有两解．选项C：因为sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2),7)<1，且b>a，所以角B有两解．选项D：因为sin B＝eq \f(bsin A,a)<1，且b6．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________．
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(1×sin 30°,sin 45°)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________．
解析：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(b,a)·sin A＝eq \f(2,\r(7))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(21),7).
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得7＝4＋c2－4c×cs 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍去)．
答案：eq \f(\r(21),7) 3
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________．
解析：在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，
∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1.
答案：1
9．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
解：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)＝2R，
∴c＝eq \f(a·sin C,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq \r(6)，
∴2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(10,\f(\r(2),2))＝10eq \r(2)，∴R＝5eq \r(2).
10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
解：(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由b2＝ac，得eq \f(b,c)＝eq \f(a,b)，
∴eq \f(bsin B,c)＝sin B·eq \f(a,b)＝sin B·eq \f(sin A,sin B)＝sin A＝eq \f(\r(3),2).
[B级 综合运用]
11．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶6，则sin B等于( )
A.eq \f(2\r(14),9) B.eq \f(\r(14),9)
C.eq \f(\r(11),5) D.eq \f(2\r(11),5)
解析：选A 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶6及正弦定理，得a∶b∶c＝3∶5∶6，则可设a＝3k，b＝5k，c＝6k，k>0.
由余弦定理的推论得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(9k2＋36k2－25k2,2×3k×6k)＝eq \f(5,9)，
则sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(14),9).
12．(多选)在△ABC中，若A>B，则下列不等式中一定正确的是( )
A．sin A>sin B B．cs AC．sin 2A>sin 2B D．cs 2A解析：选ABD A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cs x单调递减，∴cs Asin B>0，∴sin2A>sin2B，∴cs 2A13．在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高AD＝eq \f(1,3)BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________．
解析：如图，由AD＝1，B＝eq \f(π,4)，知BD＝1，又AD＝eq \f(1,3)BC＝BD，∴DC＝2，AC＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
由正弦定理知，sin∠BAC＝eq \f(sin B·BC,AC)＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(5))×3＝eq \f(3\r(10),10).
答案：eq \r(5) eq \f(3\r(10),10)
14．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC).
证明：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝180°－β.
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得eq \f(AB,BD)＝eq \f(sin β,sin α)，eq \f(AC,DC)＝eq \f(sin（180°－β）,sin α).
又因为sin(180°－β)＝sin β，所以eq \f(AB,BD)＝eq \f(AC,DC)，
即eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC).
[C级 拓展探究]
15．在正弦定理中，设eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝k，试探究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．
解：k＝2R.
如图①，当A＝90°时，eq \f(a,sin A)＝BC＝2R.
如图②，当A是锐角时，连接BO并延长交⊙O于点A′.
可知∠BAC＝∠BA′C.且△BCA′是直角三角形，
∴sin ∠BAC＝sin∠BA′C＝eq \f(BC,BA′)＝eq \f(a,2R)，
∴eq \f(a,sin ∠BAC)＝eq \f(a,\f(a,2R))＝2R.
当A是钝角时，如图③可知sin A＝sin (180°－A)＝sin A′＝eq \f(BC,BA′)＝eq \f(a,2R)，
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(a,\f(a,2R))＝2R.
故eq \f(a,sin A)＝2R恒成立．
同理可证eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.