人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习，共6页。

1．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )
A．6 B.eq \f(15,2)
C．8 D．10
解析：选A 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－eq \f(3,5)或x＝2(舍去)．设三角形边长为3，5的两边的夹角为α，则cs α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,5).故该三角形的面积S＝eq \f(1,2)×3×5×eq \f(4,5)＝6.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(3 \r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(3),2)
解析：选C 由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccs A，可得bc＝2bccs A，即cs A＝eq \f(1,2)，所以sin A＝eq \f(\r(3),2).因为bc＝1，所以S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)，故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),2)，则边BC的长为( )
A.eq \r(3) B．3
C.eq \r(7) D．7
解析：选A 因为S△ABC＝eq \f(1,2)AB·ACsin A，所以eq \f(1,2)×2·ACsin 60°＝eq \f(\r(3),2).所以AC＝1.又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A＝4＋1－2×2cs 60°＝3.所以BC＝eq \r(3).
4．已知△ABC的周长为20，面积为10 eq \r(3)，A＝60°，则BC边的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由题知a＋b＋c＝20，eq \f(1,2)bcsin 60°＝10 eq \r(3).所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccs 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边的长为7.
5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝eq \r(3)，则△ABC外接圆的半径为( )
A.eq \r(3) B．2
C．2 eq \r(3) D．4
解析：选B 因为S＝eq \f(1,2)bcsin A，
所以eq \r(3)＝eq \f(1,2)×2csin 120°.所以c＝2.
所以a＝ eq \r(b2＋c2－2bccs A)＝ eq \r(4＋4－2×2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝2 eq \r(3).
设△ABC外接圆的半径为R.
所以2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(2 \r(3),\f(\r(3),2))＝4，所以R＝2.
6．在△ABC中，a＝3eq \r(2)，b＝2eq \r(3)，cs C＝eq \f(1,3)，则△ABC的面积为________．
解析：因为cs C＝eq \f(1,3)，0所以sin C＝eq \f(2 \r(2),3).
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×2eq \r(3)×eq \f(2\r(2),3)＝4 eq \r(3).
答案：4 eq \r(3)
7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq \f(π,3).
在△ABD中，AB＝1，BD＝eq \f(BC,2)＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs eq \f(π,3)＝3.
因此AD＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10 eq \r(3)，则其周长为________．
解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝10 eq \r(3)k2＝10 eq \r(3).所以k＝1，AB＝8，AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝82＋52－2×8×5×eq \f(1,2)＝49，所以BC＝7.所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝eq \r(2)，c＝1，cs B＝eq \f(3,4).
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵b＝eq \r(2)，c＝1，cs B＝eq \f(3,4).
∴sin B＝ eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(7),4).
∴由正弦定理可得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(1×\f(\r(7),4),\r(2))＝eq \f(\r(14),8).
(2)∵c∴由(1)可得cs C＝ eq \r(1－sin2C)＝eq \f(5\r(2),8).
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(\r(7),4)×eq \f(5\r(2),8)＋eq \f(3,4)×eq \f(\r(14),8)＝eq \f(\r(14),4)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×1×eq \f(\r(14),4)＝eq \f(\r(7),4).
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝－eq \r(3)，a＝2 eq \r(7)，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)因为tan A＝－eq \r(3)，
所以A＝eq \f(2π,3).
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4ccs eq \f(2π,3)，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝eq \f(π,2)，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq \f(π,6).
故△ABD面积与△ACD面积的比值为eq \f(\f(1,2)AB·AD·sin \f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.
又△ABC的面积为eq \f(1,2)×4×2sin ∠BAC＝2eq \r(3)，
所以△ABD的面积为eq \r(3).
[B级 综合运用]
11．在平行四边形ABCD中，AC＝eq \r(65)，BD＝eq \r(17)，周长为18，则平行四边形的面积是( )
A．16 B．17.5
C．18 D．18.5
解析：选A 设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcs α＝17，a2＋b2－2abcs(180°－α)＝65，解得a＝5，b＝4，cs α＝eq \f(3,5)或a＝4，b＝5，cs α＝eq \f(3,5)，
所以S平行四边形ABCD＝absin α＝16.
12．如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝eq \f(\r(3),2)BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．
解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝eq \f(2 \r(3),3)x，BC＝eq \f(4\r(3),3)x.在△ABD中，由余弦定理，得cs A＝eq \f(x2＋x2－\f(4,3)x2,2x2)＝eq \f(1,3)，则sin A＝eq \f(2 \r(2),3).
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(x,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝eq \f(\f(4 \r(3),3)x,\f(2\r(2),3))，
解得sin C＝eq \f(\r(6),6).
答案：eq \f(\r(6),6)
13.如图，若圆内接四边形的边长依次为25，39，52和60，则cs A＝________，该圆的直径长度为________．
解析：由余弦定理得
BD2＝392＋522－2×39×52cs C，
BD2＝252＋602－2×25×60cs A，
∵A＋C＝180°，∴cs C＝－cs A，
即(392－252)－(602－522)＋2×39×52cs A＋2×25×60cs A＝0，
∴cs A＝0.∵0°∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，
∴BD＝65.
答案：0 65
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边长是a，b，c，向量m＝(b，c)，且满足|m|2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(3)，求△ABC的周长的最大值．
解：(1)∵m＝(b，c)，且|m|2＝a2＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵0(2)由a＝eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
即a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(（b＋c）2,4)，
∴(b＋c)2≤4a2＝12，
∴b＋c≤2 eq \r(3)，当且仅当b＝c＝eq \r(3)时，等号成立，
因此，△ABC的周长的最大值为3eq \r(3).
[C级 拓展探究]
15．D为△ABC的边BC的中点，AB＝2AC＝2AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点E，求S△ACE.
解：(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.
设BD＝DC＝m.
在△ADB与△ADC中，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcs ∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs ∠ADC.
即1＋m2－2mcs ∠ADB＝4，①
1＋m2＋2mcs ∠ADB＝1.②
①＋②得m2＝eq \f(3,2)，
所以m＝eq \f(\r(6),2)，即BC＝eq \r(6).
(2)在△ACE与△BCE中，
由正弦定理得eq \f(AE,sin ∠ACE)＝eq \f(EC,sin ∠EAC)，
eq \f(BE,sin ∠BCE)＝eq \f(EC,sin ∠CBE)，
由于∠ACE＝∠BCE，且eq \f(BC,sin ∠BAC)＝eq \f(AC,sin ∠CBA)，
所以eq \f(AE,BE)＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(6),6).
所以BE＝eq \r(6)AE，
所以AE＝eq \f(2,5)(eq \r(6)－1)．
又cs ∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)
＝eq \f(22＋12－（\r(6)）2,2×2×1)
＝－eq \f(1,4)，
所以sin ∠BAC＝eq \f(\r(15),4)，
所以S△ACE＝eq \f(1,2)AC·AE·sin ∠BAC
＝eq \f(1,2)×1×eq \f(2,5)(eq \r(6)－1)×eq \f(\r(15),4)
＝eq \f(3\r(10)－\r(15),20).