高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算精练，共5页。

1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
2．复数z＝eq \f(2－i,2＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵z＝eq \f(2－i,2＋i)＝eq \f(（2－i）2,（2＋i）（2－i）)＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i，∴复数z在复平面内对应的点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，位于第四象限．故选D.
3．复数eq \f(（1＋2i）2,3－4i)＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：选A eq \f(（1＋2i）2,3－4i)＝eq \f(－3＋4i,3－4i)＝－1.
4．设a是实数，且eq \f(a,1＋i)＋eq \f(1＋i,2)是实数，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
解析：选B ∵eq \f(a,1＋i)＋eq \f(1＋i,2)＝eq \f(a（1－i）,2)＋eq \f(1＋i,2)＝eq \f(1＋a,2)＋eq \f(1－a,2)i，又∵eq \f(a,1＋i)＋eq \f(1＋i,2)是实数，∴eq \f(1－a,2)＝0，解得a＝1.
5．(多选)下列关于复数z＝eq \f(2,1－i)的四个命题，其中为真命题的是( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1－i D．z的虚部为－1
解析：选BC ∵z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i，
∴|z|＝eq \r(2)，z2＝2i，z的共轭复数为1－i，z的虚部为1.故选B、C.
6．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
解析：复数z＝eq \f(1＋2i,i)＝(1＋2i)(－i)＝2－i，实部是2.
答案：2
7．设复数z＝1＋eq \r(2)i，则z2－2z＝________．
解析：∵z＝1＋eq \r(2)i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋eq \r(2)i)(1＋eq \r(2)i－2)＝(1＋eq \r(2)i)(－1＋eq \r(2)i)＝－3.
答案：－3
8．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))，则eq \f(2－eq \(z,\s\up6(－)),z)＝________．
解析：∵z＝－1－i，∴eq \(z,\s\up6(－))＝－1＋i，
eq \f(2－eq \(z,\s\up6(－)),z)＝eq \f(2－（－1＋i）,－1－i)＝eq \f(3－i,－1－i)＝－1＋2i.
答案：－1＋2i
9．设w＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，求证：
(1)1＋w＋w2＝0；
(2)w3＝1.
证明：(1)因为w2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),2)i－eq \f(3,4)＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，
所以1＋w＋w2＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝0.
(2)w3＝ww2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)i))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1.
10．计算：
(1)eq \f(1,i)＋(－eq \r(3)－i)3＋eq \f(1＋i,1－i)；
(2)eq \f(（\r(2)＋\r(2)i）2（4＋5i）,（5－4i）（1－i）).
解：(1)eq \f(1,i)＋(－eq \r(3)－i)3＋eq \f(1＋i,1－i)
＝－i＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))))eq \s\up12(3)＋eq \f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)
＝－i－8i＋i
＝－8i.
(2)eq \f(（\r(2)＋\r(2)i）2（4＋5i）,（5－4i）（1－i）)
＝eq \f(4i（4＋5i）,1－9i)＝eq \f(－20＋16i,1－9i)
＝eq \f(－4（5－4i）（1＋9i）,82)
＝eq \f(－4（41＋41i）,82)
＝－2－2i.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知复数z满足eq \(z,\s\up6(－))·z＋2ieq \(z,\s\up6(－))＝3＋ai，a∈R，则实数a的值可能是( )
A．1 B．－4
C．0 D．5
解析：选ABC 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \(z,\s\up6(－))＝x－yi，
∴x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋2y＝3，,2x＝a))⇒y2＋2y＋eq \f(a2,4)－3＝0，
∴Δ＝4－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)－3))≥0，解得－4≤a≤4，
∴实数a的值可能是1，－4，0.故选A、B、C.
12．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2
B．若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，则eq \(z,\s\up6(－))1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1eq \(z,\s\up6(－))1＝z2eq \(z,\s\up6(－))2
D．若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
解析：选ABC A项，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2，真命题；
B项，z1＝eq \(z,\s\up6(－))2⇒eq \(z,\s\up6(－))1＝z2，真命题；
C项，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1eq \(z,\s\up6(－))1＝z2eq \(z,\s\up6(－))2，真命题；
D项，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，即zeq \\al(2,1)≠zeq \\al(2,2)，假命题．
13．关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，则实数a的值等于________．
解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或－eq \f(71,5).
答案：11或－eq \f(71,5)
14．已知z为复数，z＋2i和eq \f(z,2－i)均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若复数z1＝eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(1,m－1)－eq \f(7,m＋2)i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2.
又eq \f(z,2－i)＝eq \f(a＋bi,2－i)＝eq \f(（a＋bi）（2＋i）,5)＝eq \f(2a－b,5)＋eq \f(a＋2b,5)i为实数，所以eq \f(a＋2b,5)＝0，故a＝－2b.又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，
所以|z|＝eq \r(42＋（－2）2)＝2eq \r(5).
(2)z1＝eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(1,m－1)－eq \f(7,m＋2)i＝4＋eq \f(1,m－1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,m＋2)))i
＝eq \f(4m－3,m－1)＋eq \f(2m－3,m＋2)i.
因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4m－3,m－1)>0，,\f(2m－3,m＋2)<0，))解得－2故实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
[C级 拓展探究]
15．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根．
(1)求p＋q的值；
(2)复数w满足zw是实数，且|w|＝2eq \r(5)，求复数w的值．
解：(1)关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
(2)设w＝a＋bi(a，b∈R)．
由(a＋bi)(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，得a＋2b＝0.
又|w|＝2eq \r(5)，则a2＋b2＝20，解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.