人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系复习练习题

平面

[A级　基础巩固]

1．下列有关平面的说法正确的是(　　)

A．平行四边形是一个平面

B．任何一个平面图形都是一个平面

C．平静的太平洋面就是一个平面

D．圆和平行四边形都可以表示平面

解析：选D　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．

2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)

解析：选A　B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．

3．能确定一个平面的条件是(　　)

A．空间三个点　　　　 B．一个点和一条直线

C．无数个点  D．两条相交直线

解析：选D 　不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．故选D.

4．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是(　　)

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

解析：选ABD　对于A，由基本事实2可知，a⊂β，A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN⊂α，MN⊂β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故C错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合．故选A、B、D.

5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)

A．1条或2条  B．2条或3条

C．1条或3条  D．1条或2条或3条

解析：选D　当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．

6．如图：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________．

答案：(1)A1B1　(2)AC

7．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；(2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．

答案：1或4

8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

解析：如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，

∴O，C，D三点共线．

答案：共线

9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)由点A，O，C可以确定一个平面；

(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.

解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．

(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.

10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

证明：(1)如图所示，连接B1D1，则EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.

所以EF，BD确定一个平面，

即D，B，F，E四点共面．

(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.

因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.

则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C.

所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ.

故P，Q，R三点共线．

[B级　综合运用]

11．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选A　由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，可得P1，P2，P3，P4在同一个平面内，故充分性成立．由过两条平行直线有且只有一个平面可得，当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面内，但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要性不成立．故选A.

12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　)

A．三角形  B．四边形

C．五边形  D．六边形

解析：选C　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．设直线C1M与CD相交于点E，直线C1N与CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN即为所求截面图形，如图所示．

13．有以下三个命题：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；

③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．

其中真命题的序号是________．

解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．

答案：①③

14.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.

(1)画出直线l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．

解：(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，

∴AD＝A1E＝A1D1＝a.

∵A1P∥D1N，且D1N＝a，

∴A1P＝D1N＝a，

于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.

[C级　拓展探究]

15．如图所示，今有一正方体木料ABCD­A1B1C1D1，其中M，N分别是AB，CB的中点，要过D1，M，N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？

解：作法如下：

(1)连接MN并延长交DC的延长线于F，连接D1F交CC1于Q，连接QN；

(2)延长NM交DA的延长线于E，连接D1E交AA1于P，连接MP；

(3)依次在正方体各个面上画线D1P，PM，MN，NQ，QD1，即为木工师傅所要画的线，如图所示．