2020-2021学年8.6 空间直线、平面的垂直课时训练

直线与平面垂直的判定

[A级　基础巩固]

1．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　　)

A．20°　　　　　　　 B．70°

C．90°  D．110°

解析：选B　∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.

2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°  B．45°

C．30°  D．120°

解析：选A　由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C  B．平面A1DCB1

C．平面A1B1C1D1  D．平面A1DB

解析：选B　由几何体ABCD­A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1.

4．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列结论，其中正确的结论是(　　)

A．AC∥平面CB1D1

B．AC1⊥平面CB1D1

C．AC1与底面ABCD所成角的正切值是

D．AD1与BD为异面直线

解析：选BCD　因为AC∩平面CB1D1＝C，所以AC与平面CB1D1不平行，故A错误；

连接BC1，A1C1(图略)，易证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C.因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故B正确；

因为CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC即为AC1与底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝＝，故C正确；

AD1与BD既无交点也不平行，所以AD1与BD为异面直线，故D正确．

5．(多选)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是(　　)

A．BC⊥平面PAB  B．AD⊥PC

C．AD⊥平面PBC  D．PB⊥平面ADC

解析：选ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．

6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．

解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.

∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．

答案：4

7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；

(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________．

解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.

(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，

则易证A1D⊥平面ABC1D1，

∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.

∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.

答案：(1)45°　(2)30°

8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．

解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，

∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1.

∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.

答案：90°

9．如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD.

证明：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)．

∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.

又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.

∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，

∴BD⊥EG.

∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.

又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.

10.如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点C到AB1的距离为CE，D为AB的中点．

求证：(1)CD⊥AA1；

(2)AB1⊥平面CED.

证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以CD⊥AA1.

(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A⊂平面A1B1BA，

所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，

所以CD⊥AB1.

又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CED，

所以AB1⊥平面CED.

[B级　综合运用]

11.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内所组成的集合是(　　)

A．一条线段，但要去掉两个点

B．一个圆，但要去掉两个点

C．两条平行直线

D．半圆，但要去掉两个点

解析：选B　连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．

12．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)

解析：选BD　对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选B、D.

13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可)．

解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)

答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一)

14．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥平面B1ED1.

证明：∵ABCD­A1B1C1D1为长方体，

∴AB⊥平面BB1C1C，

又B1E⊂平面BB1C1C，∴AB⊥B1E.

∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，

∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1.

如图，连接A1C1，

∵AB＝AD，∴长方体的底面A1B1C1D1为正方形，

∴A1C1⊥B1D1.

又AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.

又AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，

∴B1D1⊥AC1.

又B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1.

[C级　拓展探究]

15.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．

(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；

(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．

解：(1)证明：因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，

所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B.

(2)如图，作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．证明如下：

因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，

所以AB1⊥平面C1DF.

因为AA1＝A1B1＝，所以四边形AA1B1B为正方形．

又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，所以F为BB1的中点，

所以当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.