人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂检测题，共5页。

1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
解析：选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.
3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．相等或互补
解析：选D 如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.此时两角互补；当∠BDC＝90°时，此时∠A＝∠BDC，两角相等．故选D.
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1­BD­A的正切值等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \r(2) D．eq \r(3)
解析：选C 如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．设A1A＝a，则AO＝eq \f(\r(2),2)a，所以tan∠A1OA＝eq \f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq \r(2).
5.(多选)如图，在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选ABD 由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．
6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为________．
解析：取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝eq \r(3)，PA＝eq \r(6)，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________．
解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，
所以∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，
连接BC(图略)，则BC＝ eq \r(BD2＋DC2)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1.
答案：1
8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 eq \r(3)，CC1＝eq \r(2)，则二面角C1­BD­C的大小为________．
解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，
∵AB＝AD＝2 eq \r(3)，
∴CO⊥BD，CO＝eq \r(6).
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，
∴C1O⊥BD.
∴∠C1OC为二面角C1­BD­C的平面角．
tan ∠C1OC＝eq \f(C1C,OC)＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3).
∴∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°.
答案：30°
9.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC.
(2)法一：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
法二：因为AB∥DC，DC⊥平面PAC，所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
10.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝eq \r(B1Ceq \\al(2,1)＋MCeq \\al(2,1))＝eq \r(2)，同理BM＝eq \r(BC2＋CM2)＝eq \r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
[B级 综合运用]
11．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′的位置，此时A′C＝eq \r(3)，则( )
A．平面A′BD⊥平面BDC
B．平面A′BD⊥平面A′BC
C．平面A′DC⊥平面BDC
D．平面A′DC⊥平面A′BC
解析：选AD 在三棱锥A′­BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝eq \r(2)，DC＝eq \r(2)，又A′C＝eq \r(3)，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC.故选A、D.
12．三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq \r(3)，VC＝1，则二面角V­AB­C的大小为________．
解析：如图，取AB中点O，连接VO，CO.
∵在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq \r(3)，VC＝1，
∴VO⊥AB，CO⊥AB，
∴∠VOC是二面角V­AB­C的平面角．
∵VO＝ eq \r(VA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq \r(4－3)＝1，
CO＝ eq \r(BC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq \r(4－3)＝1，
∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形．
∴∠VOC＝60°，∴二面角V­AB­C等于60°.
答案：60°
13．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(答案不唯一，写出一个即可)．
解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，也可能m⊂α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，也可能n⊂β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立．∴①③④⇒②(或②③④⇒①)．
答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
14.如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq \f(1,2)PA＝3，EF＝eq \f(1,2)BC＝4.
因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
[C级 拓展探究]
15.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
解：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
因为△PAD为等边三角形，
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而EF，DE⊂平面DEF，PB，GB⊂平面PBG，EF∩DE＝E，PB∩BG＝B，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.