数学必修 第二册10.3 频率与概率练习题

有限样本空间与随机事件

[A级　基础巩固]

1．下列事件中随机事件的个数为(　　)

①明天是阴天；

②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；

③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；

④一个三角形的大边对小角，小边对大角．

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选B　由题知①③为随机事件，②④为不可能事件．故选B.

2．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个不同的数，则事件“这3个数的和不小于6”是(　　)

A．必然事件  B．不可能事件

C．随机事件  D．以上选项均不正确

解析：选A　从所给的10个数中，任取3个不同的数，其和最小为6.故事件“这3个数的和不小于6”为必然事件，故选A.

3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是(　　)

A．第一枚是3点，第二枚是1点

B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．两枚都是2点

解析：选B　依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.

4．先后抛掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是(　　)

A．“至少一枚硬币正面向上”

B．“只有一枚硬币正面向上”

C．“两枚硬币都是正面向上”

D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”

解析：选A　“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”，“五角、一元都向上”三个样本点，故选A.

5．在10名学生中，男生有x人，现从10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：

①至少有一名女生；

②5名男生，1名女生；

③3名男生，3名女生．

若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为(　　)

A．5  B．6

C．3或4  D．5或6

解析：选C　由题意，知10名学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.故选C.

6．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有________个．

解析：样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，共3个．

答案：3

7．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．

解析：质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．

答案：随机

8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．

解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.

答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5

9．从1，2，3，5中任取两个不同的数字作为一次函数y＝－x中的A，B，请写出这个试验的样本空间，及“－大于－1”这一事件所包含的样本点．

解：从1，2，3，5中任取两个不同的数字可构成有序实数对(A，B)，其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，

则这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}．

若－＞－1，则＜1.

因为A，B均为正数，所以A＜B.

因此，“－大于－1”这一事件包含以下6个样本点： (1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，3)，(2，5)，(3，5)．

10．在所有考试中，小明同学的语文、数字、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况，请写出该试验的样本空间，并用集合表示下列事件：A＝“至少有两科成绩为优秀”；B＝“三科成绩不都相同”．

解：分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示为{x1，x2，x3}．用1表示优秀，用0表示良好，则x1，x2，x3∈{0，1}．

该试验的样本空间可表示为Ω＝{(x1，x2，x3)|x1，x2，x3∈{0，1}}，

用列举法表示为Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．

A＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}；

B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．

[B级　综合运用]

11．(多选)下列事件是随机事件的是(　　)

A．函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称

B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码

C．直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数

D．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号

解析：选BCD　A为必然事件；B、C、D为随机事件；对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.

12．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；

②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；

④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．

其中正确的命题有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选C　∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.

13．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：

①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；

②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；

③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；

④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9.

其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件(填序号)．

解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于9.

答案：③④　②　①

14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A；

(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题．

解：(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

(2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

(3)若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，

A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

[C级　拓展探究]

15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．

(1)写出该试验的样本空间Ω；

(2)写出A，B包含的样本点；

(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．

(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．

(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，

从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．