人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系课堂检测

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1．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{x|x＋3＝3}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
解析：选D ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D.
2．下列表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是( )
解析：选B 由N＝{1，0}，知NM，故选B.
3．在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成志愿者队伍，参与社区的防疫工作．若集合A＝{参与防疫工作的志愿者}，集合B＝{参与防疫工作的男党员}，集合C＝{参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是( )
A．A⊆B B．B⊆C
C．CAD．BA
解析：选D 易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而集合B，C之间没有包含关系，因此只有D选项正确．
4．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是( )
A．{1，8} B．{2，3}
C．{1} D．{2}
解析：选AC ∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意．
5．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是( )
A．a＜eq \f(1,4) B．a≤eq \f(1,4)
C．a≥eq \f(1,4) D．a＞eq \f(1,4)
解析：选B ∵∅{x|x2－x＋a＝0}，∴关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根，∴Δ＝(－1)2－4a≥0，故a≤eq \f(1,4).
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))，则A，B准确的关系是________．
解析：因为B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.
答案：BA
7．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是________．
解析：∵B⊆A，∴①当B是∅时，可知a＝0，符合题意；②当B＝{1}时，可得a＝1，符合题意；③当B＝{－1}时，可得a＝－1，符合题意．故满足条件的a的所有取值构成的集合是{－1，0，1}．
答案：{－1，0，1}
8．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．
(1)若A＝B，则y的值为________；
(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．
解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，
所以y＝3，
综上，y的值为1或3.
(2)因为C＝{x|2＜x＜5}，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＜a＜5，,2＜a－1＜5.))所以3＜a＜5.
答案：(1)1或3 (2)39．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.
(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥\f(5,2)))))，
所以利用数轴判断A，B的关系．
如图所示，AB.
(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
10．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判断集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.
解：(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，
当a＝eq \f(1,5)时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA.
(2)当a＝0时，由题意得B＝∅，
又A＝{3，5}，故B⊆A；
当a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，
又A＝{3，5}，B⊆A，此时eq \f(1,a)＝3或5，
则有a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).
所以C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
[B级 综合运用]
11．定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．16 D．15
解析：选B 由题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}，∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.
12．已知集合A＝{x，1}，B＝{y，1，2，4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0，1，2，3，4}中，则不同的集合{x，y}共有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
解析：选A 分析知x≠y.由A是B的真子集，得x＝2或x＝4.由y在集合{0，1，2，3，4}中及集合中元素的互异性，得y＝0或y＝3，故集合{x，y}的所有可能情况为{2，0}，{2，3}，{4，0}，{4，3}，共4个，故选A.
13．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,9)（2k＋1），k∈Z))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,9)k±\f(1,9)，k∈Z))))，则集合A，B之间的关系为________．
解析：A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,9)（2k＋1），k∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(…，－\f(5,9)，－\f(3,9)，－\f(1,9)，\f(1,9)，\f(3,9)，\f(5,9)，…))，
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,9)k±\f(1,9)，k∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(…，－\f(5,9)，－\f(3,9)，－\f(1,9)，\f(1,9)，\f(3,9)，\f(5,9)，…))，故A＝B.
答案：A＝B
14．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}．
(1)若M＝N，求实数m的取值范围；
(2)若M⊆N，求实数m的取值范围．
解：(1)若M＝N，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－6＝－2，,2m－1＝5，))方程组无解，即不存在实数m使得M＝N，
所以实数m的取值范围为∅.
(2)若M⊆N，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m－1≥m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[C级 拓展探究]
15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1，2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由；
(2)若A⊆B成立，求出相应的实数对(a，b)．
解：(1)不存在．理由如下：
若对任意的实数b都有A⊆B，
则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能．
因为A＝{a－4，a＋4}，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＝1，,a＋4＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＝2，,a＋4＝1，))这都不可能，所以这样的实数a不存在．
(2)由(1)易知，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＝1，,a＋4＝b))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＝2，,a＋4＝b))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＝b，,a＋4＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＝b，,a＋4＝2))时，A⊆B.
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝9))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－7))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－6.))
所以所求的实数对为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)．