必修 第一册2.2 基本不等式当堂检测题

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基本不等式[A级　基础巩固]1．y＝3x2＋的最小值是(　　)A．3－3　　 B．3　　　C．6　　 D．6－3解析：选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)A.　　　　　　　 B.C.  D.解析：选B　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．3．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　)A．1　　 B.  C.　　 D.解析：选C　已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选C.4．(多选)下列不等式一定成立的是(　　)A．x2＋＞x(x＞0)  B．x＋≥2(x＞0)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)  D.＞1(x∈R)解析：选BC　对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x＞0时，不等式成立，所以B一定成立；对于C，不等式显然恒成立，所以C一定成立；对于D，∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，所以D不成立．故选B、C.5．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)A．5  B．7C．9  D．13解析：选C　因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2 ＝9(当且仅当b＝2a时等号成立)．故选C.6．当x＞1时，则2x＋的最小值为________．解析：2x＋＝2＋2，∵x＞1，∴x－1＞0，∴2x＋≥2×2＋2＝10，当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号．答案：107．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．答案：38．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．答案：3　29．已知x，y，z为正数且满足x－2y＋3z＝0，求的最小值．解：由x－2y＋3z＝0，得y＝.因为x，y，z为正数，所以＝＝·≥·＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．所以的最小值为3.10．已知x，y都是正数．(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值．解：(1)∵3x＋2y＝12，∴xy＝·3x·2y≤×＝6，当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立．∴xy取得最大值为6.(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，∴＋的最小值为1＋.[B级　综合运用]11．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)A．λ＜  B．λ＜1C．λ＜2  D．λ＜3解析：选C　不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴λ＜.∵≥＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ＜2.12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)A.＋的最小值为4B.的最大值为C.＋的最大值为D．a2＋b2的最小值为解析：选ABCD　对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确．故选A、B、C、D.13．设x＞0，则的最小值为________．解析：由x＞0，可得x＋1＞1.令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．答案：2－114．(1)已知a，b，x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值．解：(1)x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2，当且仅当即时，等号成立．(2)法一：由x＋2y＋xy＝30，可得y＝(0＜x＜30)．xy＝＝＝34－，注意到x＋2＋≥2·＝16，可得xy≤18，当且仅当x＋2＝，即x＝6时，等号成立，代入x＋2y＋xy＝30中得y＝3，故xy的最大值为18.法二：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2＝2·(当且仅当x＝2y时，等号成立)，∴2·＋xy≤x＋2y＋xy＝30，解此不等式得0≤xy≤18，即xy的最大值为18，此时即[C级　拓展探究]15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．解：因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.由得或故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．